《2025年全品基础小练习高考数学》

9. 如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA = $\frac{\pi}{3}$，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则 ( )

A. 经过1 s后，∠BOA的弧度数为$\frac{\pi}{3}+3$
B. 经过$\frac{\pi}{12}$ s后，扇形AOB的弧长为$\frac{7\pi}{12}$
C. 经过$\frac{\pi}{6}$ s后，扇形AOB的面积为$\frac{\pi}{3}$
D. 经过$\frac{5\pi}{9}$ s后，A，B在单位圆上第一次相遇

答案： ABD　

10. 已知$\theta\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，且$\sin\theta=\frac{1}{2}$，则关于θ的表述正确的是 ( )
A. $\theta=\frac{\pi}{6}$
B. $\cos\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\tan\theta=\sqrt{3}$
D. $\tan\theta=\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： AD　

11. 下列说法正确的是 ( )
A. 若$\sin\alpha=-\frac{1}{2}$，且$\pi＜\alpha＜\frac{3\pi}{2}$，则$\tan\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. 若α是第二象限角，则$\frac{\alpha}{2}$是第一或第三象限角
C. $\sin1\cos2＜0$
D. 若α是第四象限角，则点P(sinα，tanα)在第四象限

答案： BC　

12. 已知正角α的终边经过点P$(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，则角α的值可以是________.

答案： $\frac{2\pi}{3}$(答案不唯一)　[解析]因为正角α的终边经过点P(-$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),所以cosα = −$\frac{1}{2}$,sinα = $\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以角α的值可以是$\frac{2\pi}{3}$

13. 若有一扇形的周长为60 cm，那么当扇形的面积最大时，圆心角的弧度数为________.

答案： 2　[解析]设扇形的半径为r,弧长为l,因为扇形的周长为60 cm,所以2r + l = 60,故扇形的面积S = $\frac{1}{2}$lr = $\frac{1}{4}$×2rl ≤ $\frac{1}{4}$($\frac{2r + l}{2}$)² = $\frac{1}{4}$×30² = 225,当且仅当2r = l = 30时,等号成立,此时圆心角的弧度数θ = $\frac{l}{r}$ = 2.

14. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”，画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧，交BA的延长线于点F，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为________.

答案： 80π.