《2025年全品基础小练习高考数学》

8. 如图，三棱柱ABC - A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁ = AB = AC = 1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A₁B₁上，且满足$\overrightarrow{A_{1}P}=\lambda\overrightarrow{A_{1}B_{1}}$，则当直线PN与平面ABC所成的角取得最大值时，λ的值为 ( )
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

答案： A.

9. 在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，动点M在体对角线A₁C上(包括端点)，E，F分别为DD₁，AD的中点.若异面直线EF与BM所成的角为θ，则θ的值可能是 ( )
A. $\frac{\pi}{6}$
B. $\frac{\pi}{4}$
C. $\frac{\pi}{3}$
D. $\frac{\pi}{2}$

答案： ABC.

10. 若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则 ( )
A. AC与BD所成的角为90°
B. AD与BC所成的角为45°
C. BC与平面ACD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$
D. 平面ABC与平面BCD的夹角的正切值为$\sqrt{2}$

答案： AD.

11. 如图，六面体ABCDEFG的一个面ABCD是边长为2的正方形，AE，CF，DG均垂直于平面ABCD，且AE = 1，CF = 2，则下列说法正确的有 ( )

A. AC⊥BG
B. 直线AB与直线GF所成角的余弦值为$\frac{1}{2}$
C. 平面ABCD与平面EBFG所成角的余弦值为$\frac{2}{3}$
D. 若P为空间中一点，则当DP = 1时，动点P到平面EBFG的距离的最小值为1

答案： ACD.

12. [教材改编] 在三棱锥A - BCD中，BA，BC，BD两两垂直，BA = BD = 3，BC = 2，则平面BAD与平面ADC夹角的正切值为________.

答案： $\frac{2√2}{3}$

13. 已知四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁的底面是正方形，AB = 4，AA₁ = 4$\sqrt{2}$，点B₁在底面ABCD的射影为BC的中点H，则直线AD₁与平面ABCD所成角的正弦值为________.

答案： $\frac{1}{4}$

14. 在空间四边形ABCD中，AB = BD = DA = 2$\sqrt{2}$，BC = CD = 2，记二面角A - BD - C的大小为θ，当θ∈($\frac{\pi}{6}$,$\frac{5\pi}{6}$)时，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是________.

答案： [0,$\frac{5√2}{8}$).