《2025年全品基础小练习高考数学》

8. 太白楼，原名谪仙楼，位于安徽省马鞍山市，素有“风月江天贮一楼”的美誉.如图，为测量太白楼的高度MN，取与楼底端N处位于同一水平面且共线的三点A，B，C，测得楼顶端M处的仰角分别为30°，45°，60°，且AB = BC = 15 m，则太白楼的高度为 ( )
A. $\frac{15\sqrt{6}}{2}$ m
B. 5√6 m
C. 4√6 m
D. $\frac{15\sqrt{6}}{4}$ m

答案： A

9. 一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12√3海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为6√6海里，该轮船从A处沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向上，下列结论正确的是 ( )
$A. AD = 12\sqrt{2}海里$
$B. CD = 6\sqrt{2}海里$
C. ∠CDA = 60°或∠CDA = 120°
D. 灯塔C在D的南偏西60°方向上

答案： ABD

10. 某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量、迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有 ( )
A. 在水平地面上任意寻找两点A，B，分别测得旗杆顶端的仰角为α，β，再测量A，B两点间的距离
B. 在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆)，测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角为α和β
C. 在地面上任意寻找一点A，测得旗杆顶端的仰角为α，再测量A到旗杆底部的距离
D. 在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角为α，正对旗杆前行5 m到达B处，再次测得旗杆顶端的仰角为β

答案： BCD

11. 湖光岩玛珥湖，位于广东省湛江市麻章区湖光镇，是中国乃至世界最大的湿玛珥湖，是中国玛珥湖研究的始发点，也是世界玛珥湖研究的关键点.某小组计划测量如图所示的湖光岩玛珥湖的东西方向的总湖长，即测量湖光岩玛珥湖湖岸的两个测量基点P，Q之间的距离，现在湖光岩玛珥湖的湖岸取另外两个测量基点M，N，测得MN = 380√5米，∠PMQ = $\frac{3\pi}{4}$，∠QMN = ∠PNM = $\frac{\pi}{12}$，∠PNQ = $\frac{2\pi}{3}$，则 ( )

$A. MQ = 380\sqrt{10}米$
$B. PM = 380\sqrt{5}米$
$C. PN = 380\sqrt{10}米$
D. PQ = 1900米

答案： ABD

12. 如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点(A，B两点与树在同一平面内)，从A，B两点测得树尖P的仰角分别为45°，60°，且A，B两点之间的距离为30 m，则该树的高度为________.

答案： $(45+15\sqrt{3})m$

13. 如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为________米.

答案： 90

14. 如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台D，已知射线AB，AC为湿地内两条夹角为$\frac{\pi}{3}$的公路(长度均超过4千米)，在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点E，F，并在观景台D与接送点E，F之间建造两条观光线路DE与DF，且AE = AF = 2√3千米，若要求∠EDF与∠BAC互补且观景台D在EF的右侧，则观光线路之和最长是________千米.

答案： 4