《2025年全品基础小练习高考数学》

11. 已知函数$f(x)=ax + x\ln x$在$x = e$($e$为自然对数的底数)处取得极值.
(1)求实数$a$的值；
(2)若不等式$\frac{f(x)}{x}\gt k(1+\frac{1}{x})$恒成立，求$k$的取值范围.

答案： $解:(1)因为f(x)=ax+xlnx,$
$所以f'(x)=a+lnx+1,$
$因为函数f(x)=ax+xlnx在x=e处取得极值,$
$所以f'(e)=a+2=0,$
$解得α=−2,经检验，符合题意，$
$所以a=−2.$
$(2)由(1)知f(x)=−2x+xlnx,$
$若\frac{f(x)}{x}＞k(1+\frac{1}{x})恒成立,$
$则k＜\frac{f(x)}{x+1}恒成立,$
$即k＜\frac{−2x+xlnx}{x+1}对任意x∈(0,+∞)恒成立,$
$令g(x)=\frac{−2x+xlnx}{x+1},$
$则g'(x)=\frac{(−2+lnx+1)(x+1)−(−2x+xlnx)}{(x+1)²}=\frac{lnx+x−1}{(x+1)²},$
$设h(x)=lnx+x−1(x＞0),易知h(x)是增函数,且h(1)=0,$
$所以当x＞1时,h(x)＞0,即g’(x)＞0,当0＜x＜1时,h(x)＜0,即g'(x)＜0,$
$所以g(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减，$
$所以g(x)min=g(1)=−1,$
$所以k＜−1,$
$则k的取值范围为(-∞,−1).$

12. 已知函数$f(x)=(ax - 1)e^{x + 1}+3(a\neq0)$.
(1)求$f(x)$的极值；
(2)设$a = 1$，若关于$x$的不等式$f(x)\leqslant(b - 1)e^{x + 1}-x$在区间$[-1,+\infty)$内有解，求$b$的取值范围.

答案： $解:(1)f'(x)=(ax−1+a)e^{x+1},$
$令f’(x)=0,得x=\frac{1−a}{a}$,
$当α＞0时,由f'(x)＜0,得x＜\frac{1−a}{a},$
$由f'(x)＞0,得x＞\frac{1−a}{a},$
$故f(x)在区间(−∞,\frac{1−a}{a})上单调递减,在区间(\frac{1−a}{a},+∞)上单调递增，$
$所以f(x)在x=\frac{1−a}{a}处取得极小值，且极小值为f(\frac{1−a}{a})=3−αe^{\frac{1}{a}}，无极大值;$
$当α＜0时,由f'(x)＞0,得x＜\frac{1−a}{a},由f'(x)＜0,得x＞\frac{1−a}{a}$
$故f(x)在区间(−∞,\frac{1−a}{a})上单调递增,在区间(\frac{1−a}{a},+∞)上单调递减，$
$所以f(x)在x=\frac{1−a}{a}处取得极大值，且极大值为f(\frac{1−a}{a})=3−αe^{\frac{1}{a}},无极小值.$
$综上,当α＞0时,f(x)的极小值为3−ae^{\frac{1}{a}},无极大值;$
$当α＜0时,f(x)的极大值为3−αe^{\frac{1}{a}},无极小值$
$(2)当α=1时,f(x)≤(b−1)e^{x+1}−x 等价于b≥\frac{x+3}{e^{x+1}}+x,$则b≥\frac{x+3}{e^{x+1}}+x在区间[−1,+∞)内有解.
$令g(x)=\frac{x+3}{e^{x+1}}+x(x≥−1),$
$则g'(x)=\frac{e^{x+1}−(x+2)}{e^{x+1}}$
$令h(x)=e^{x+1}−(x+2),x≥−1,$
$则h'(x)=e^{x+1}−1在[−1,+∞o)上单调递增,有h'(x)≥h'(−1)=0,$
$所以h(x)在区间[−1,+∞)上单调递增,即h(x)≥h(−1)=0,$
$所以g'(x)≥0在区间[−1,+∞)内恒成立,$
$所以g(x)在区间[−1,+∞)上单调递增,$
$即g(x)≥g(−1)=1,即b≥1$
$故b的取值范围是[1,+∞).$