《2025年全品基础小练习高考数学》

4.（13分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2a + b = 2c cos B.
（1）求角C的大小；
（2）若内角C的平分线交AB于点D，AD = 3$\sqrt{13}$，DB = $\sqrt{13}$，求CD的长.

答案： $解;(1)由2a+b=2ccosB,$
$结合正弦定理可得2sinA+sinB=2sinCcosB,.$
$所以2sin(B+C)+sinB=2sinCcosB,$
$即2sinBcosC+2cosBsinC+sinB= 2sinCcosB,$
$整理得(2cosC+1)sinB= 0,$
$因为B,C均为三角形的内角，$
$所以B, C∈(0,π),$
$所以sinB≠0,$
$因此cosC=−\frac{1}{2}$,
$所以C=\frac{2π}{3}$.
$(2)因为CD平分内角C,AD=3\sqrt{13},DB=\sqrt{13},$
$所以在△ACD和△BCD中,$
由正弦定理可得，$\frac{AD}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{CD}{sinA}$,$\frac{BD}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{CD}{sinB}$, 
因此$\frac{sinB}{sinA}$=$\frac{AD}{BD}$=3,
$即sinB=3sinA,$
$所以b=3a,$
又由余弦定理可得c²=a²+b²−2abcosC,
即(4 $\sqrt{13}$)²=a²+9a²+3a²,
$所以a=4,$
$所以b=12.$
$因为S△ABC=SACD+S△BCD,$
$所以\frac{1}{2}absin∠ACB=\frac{1}{2}b.CD.sinACD+\frac{1}{2}α.CD.sin∠BCD,$
$所以CD=3.$

5.（13分）如图，在四边形ABCD中，已知BC = 1，AC² = AB² + AB + 1.
（1）若△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求△ABC的周长；
（2）若AB = 3，∠ADB = 60°，∠BCD = 120°，求∠BDC.

答案： $解;(1)在△ABC中,cos∠ABC= \frac{AB²+BC²−AC²}{2AB.BC}= \frac{AB²+1−(AB²+AB+1)}{2AB}=−\frac{1}{2}$,
$∵0°＜∠ABC＜180°,$
$∴∠ABC=120°.$
$由S△ABC=\frac{1}{2}×AB×BCsin120°= \frac{\sqrt{3}}{4}AB=\sqrt{3},得AB=4,$
$∴AC²=AB²+ AB+1=16+4+1=21,$
$∴AC=\sqrt{21},$
$∴AB+BC+AC=5+\sqrt{21},$
$即△ABC 的周长为5+\sqrt{21}.$
$(2)设∠BDC=θ,则∠DBC=60°−θ, $
$∵∠ABC=120°,$
$∴∠ABD=60°+θ,$
$又∠ADB=60°,$
$∴∠BAD=60°−θ$
$ 在△ABD中,由\frac{BD}{sin(60°−θ)}=\frac{AB}{sin60°}$,
$得 BD=\frac{3sin(60°−θ)}{sin60°}$,
$在△BCD中,由\frac{BD}{sin120°}=\frac{BC}{sinθ}$,
$得BD=\frac{sin120}{sinθ}$,
$∴\frac{3sin(60°−θ)}{sin60°}=\frac{sin120}{sinθ}$,
$∴4sinθsin(60°−θ)=1, $
$即4sinθ(sin60°cosθ−cos60°sinθ)=1,$
$即2\sqrt{3}sinθcosθ−2sin²θ=1,$
$\sqrt{3}sin2θ+cos2θ=2,$
$即2(\frac{\sqrt{3}}{2}sin2θ+\frac{1}{2}cos2θ)=2,$
$∴sin(2θ+30°)=1.$
$∵0°＜θ＜60°,$
$∴30°＜2θ+30°＜150°,$
$∴2θ+30°=90°,$
$解得θ=30°$
$即∠BDC=30°.$