《2025年全品基础小练习高考数学》

4.（13分）已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$S_{n}$满足$\log_{2}(S_{n}+2)=n + 1$.
(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)数列$\{ b_{n}\}$的通项公式为$b_{n}=n$，求$\{ a_{n}\cdot b_{n}\}$的前$n$项和$M_{n}$；
(3)在任意相邻两项$a_{k}$与$a_{k + 1}$（其中$k\in \mathbf{N}^{*}$）之间插入$2^{k}$个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列$\{ c_{n}\}$，记$T_{n}$为数列$\{ c_{n}\}$的前$n$项和，求$T_{36}$的值.

答案： 解:
(1)因为$\log_{2}(S_{n}+2)=n + 1$，
所以$S_{n}+2=2^{n + 1}$，则$S_{n}=2^{n + 1}-2$.
当$n = 1$时，$a_{1}=S_{1}=2^{2}-2 = 2$.
当$n\geq2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=2^{n + 1}-2-(2^{n}-2)=2^{n}$，当$n = 1$时，$a_{1}=2^{1}$也成立，所以$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=2^{n}$.
(2)由
(1)可知$a_{n}b_{n}=n\times2^{n}$，所以$M_{n}=1\times2 + 2\times2^{2}+3\times2^{3}+\cdots+n\times2^{n}$，所以$2M_{n}=1\times2^{2}+2\times2^{3}+3\times2^{4}+\cdots+n\times2^{n + 1}$，则$-M_{n}=1\times2 + 1\times2^{2}+1\times2^{3}+\cdots+1\times2^{n}-n\times2^{n + 1}=\frac{2(1 - 2^{n})}{1 - 2}-n\times2^{n + 1}=(1 - n)\times2^{n + 1}-2$，
所以$M_{n}=2^{n + 1}(n - 1)+2$.
(3)由题意，数列$\{ c_{n}\}$的项依次为$a_{1}$，$\underbrace{3,3}_{2^{1}}$，$a_{2}$，$\underbrace{3,3,3,3}_{2^{2}}$，$a_{3}$，$\underbrace{3,3,\cdots,3}_{2^{3}}$，$a_{4}$，$\cdots$，
在$a_{1}$到$a_{5}$之间的$3$的个数为$2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}=30$，故数列$\{ c_{n}\}$的前$36$项中含有$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$，$a_{5}$及$31$个$3$，
故$T_{36}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+31\times3=2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+93=\frac{2\times(2^{5}-1)}{2 - 1}+93 = 155$.

5.（13分）已知$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，$a_{1}=1$，$S_{n + 1}+S_{n}=2n^{2}+2n + 1$.
(1)求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2)若$b_{1}=1$，$b_{n + 1}+(-1)^{n}b_{n}=a_{n}$，求数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$.

答案： 解:
(1)方法一:当$n = 1$时，$S_{2}+S_{1}=5$，即$a_{2}+2a_{1}=5$，由$a_{1}=1$，得$a_{2}=3$.由$S_{n + 1}+S_{n}=2n^{2}+2n + 1$，得$S_{n}+S_{n - 1}=2(n - 1)^{2}+2(n - 1)+1(n\geq2)$，两式相减得$a_{n + 1}+a_{n}=4n(n\geq2)$，又$a_{2}+a_{1}=4$，满足上式，所以当$n\in N^{*}$时，$a_{n + 1}+a_{n}=4n$，所以当$n\geq2$时，$a_{n}+a_{n - 1}=4(n - 1)$，两式相减得$a_{n + 2}-a_{n}=4(n\geq2)$，所以数列$\{ a_{n}\}$的奇数项是以$a_{1}=1$为首项，以$4$为公差的等差数列，所以$a_{n}=a_{1}+\frac{n - 1}{2}\times4=1+2(n - 1)=2n - 1(n$为奇数$)$，数列$\{ a_{n}\}$的偶数项是以$a_{2}=3$为首项，以$4$为公差的等差数列，所以$a_{n}=a_{2}+\frac{n - 2}{2}\times4=3+2(n - 2)=2n - 1(n$为偶数$)$，所以$a_{n}=2n - 1$，
即$\{ a_{n}\}$的通项公式是$a_{n}=2n - 1$.
方法二:因为$S_{n + 1}+S_{n}=2n^{2}+2n + 1$，所以$S_{n + 1}-(n + 1)^{2}=-(S_{n}-n^{2})$，故$S_{n}-n^{2}=-[S_{n - 1}-(n - 1)^{2}](n\geq2)$，故$S_{n + 1}-(n + 1)^{2}=-(S_{n}-n^{2})=\cdots=(-1)^{n}(S_{1}-1^{2})$，因为$S_{1}-1^{2}=0$，所以$S_{n}-n^{2}=0$，即$S_{n}=n^{2}$，当$n\geq2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=n^{2}-(n - 1)^{2}=2n - 1$，当$n = 1$时，$a_{1}=1$也适合上式，所以$\{ a_{n}\}$的通项公式是$a_{n}=2n - 1$.
(2)因为$b_{n + 1}+(-1)^{n}b_{n}=a_{n}$，所以当$n = 2k - 1(k\in N^{*})$时，$b_{2k}-b_{2k - 1}=a_{2k - 1}=2(2k - 1)-1=4k - 3$①，
当$n = 2k(k\in N^{*})$时，$b_{2k + 1}+b_{2k}=a_{2k}=2\times2k - 1=4k - 1$②，
②$-$①得$b_{2k + 1}+b_{2k - 1}=2(k\in N^{*})$，因为$b_{1}=1$，$b_{3}+b_{1}=2$，所以$b_{3}=1$，
因为$b_{2k + 1}+b_{2k - 1}=2(k\in N^{*})$，所以当$n$为奇数时，$b_{n}=1$.当$n$为偶数时，$b_{n}-b_{n - 1}=a_{n - 1}=2(n - 1)-1=2n - 3$，所以$b_{n}=a_{n - 1}+1=2n - 3+1=2n - 2$.
所以$b_{n}=\begin{cases}1,n = 2k - 1,k\in N^{*}\\2n - 2,n = 2k,k\in N^{*}\end{cases}$.
当$n$为偶数时，$T_{n}=(b_{1}+b_{3}+\cdots+b_{n - 1})+(b_{2}+b_{4}+\cdots+b_{n})=\frac{n}{2}\times1+\frac{\frac{n}{2}(2 + 2n - 2)}{2}=\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n$；
当$n$为奇数时，$T_{n}=T_{n + 1}-b_{n + 1}=\frac{1}{2}(n + 1)^{2}+\frac{1}{2}(n + 1)-[2(n + 1)-2]=\frac{1}{2}n^{2}-\frac{1}{2}n + 1$.综上，$T_{n}=\begin{cases}\frac{1}{2}n^{2}-\frac{1}{2}n + 1,n = 2k - 1,k\in N^{*}\\\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n,n = 2k,k\in N^{*}\end{cases}$.