《2025年全品基础小练习高考数学》

3.（15分）已知椭圆$\Gamma:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$，直线$l:y=kx + b$与椭圆$\Gamma$仅有一个公共点.
(1)求$k$，$b$满足的关系式；
(2)若直线$l$与$x$，$y$轴分别交于$A$，$B$两点，$O$是坐标原点，求$\triangle AOB$面积的最小值.

答案： $3. 解： (1)由\begin{cases}\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\\y = kx + b\end{cases}，可得(3 + 4k^{2})x^{2}+8kbx+4b^{2}-12 = 0，因为直线l与椭圆只有一个公共点，所以\Delta=(8kb)^{2}-4(3 + 4k^{2})(4b^{2}-12)=0，化简得4k^{2}-b^{2}+3 = 0。 (2)根据题意，k存在且k\neq0，所以A(-\frac{b}{k},0)，B(0,b)，所以\triangle AOB的面积S=\frac{1}{2}|-\frac{b}{k}|\times|b|=\frac{1}{2}|\frac{b^{2}}{k}|=\frac{1}{2}|\frac{4k^{2}+3}{k}|=\frac{1}{2}(|4k|+|\frac{3}{k}|)\geqslant\frac{1}{2}\times2\sqrt{|4k|\cdot|\frac{3}{k}|}=2\sqrt{3}，当且仅当|4k|=|\frac{3}{k}|，即k=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}时等号成立，所以\triangle AOB面积的最小值为2\sqrt{3}。 $

4.（15分）设椭圆$W:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a ＞ b ＞ 0)$的四个顶点围成的菱形的面积为4，且点$M(0,-1)$为椭圆上一点，抛物线$N:y^{2}=2px(p ＞ 0)$的焦点$F$与点$M$关于直线$y=-x$对称.
(1)求椭圆$W$及抛物线$N$的方程；
(2)直线$l:y=kx(k ＜ 0)$与椭圆$W$交于$A$，$B$两点，与抛物线$N$交于点$D$（异于原点$O$），若$|AB|=\frac{\sqrt{5}}{5}|OD|$，求四边形$AMBF$的面积.

答案： $4. 解： (1)由题可得\frac{1}{2}\times2a\times2b = 4，b = 1，所以a = 2，所以椭圆W的方程为\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1。易知点M关于直线y=-x的对称点为F(1,0)，所以\frac{p}{2}=1，即p = 2，所以抛物线N的方程为y^{2}=4x。 - (2)由\begin{cases}\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1\\y = kx\end{cases}，得x^{2}=\frac{4}{1 + 4k^{2}}，设A(x_{1},y_{1})，B(x_{2},y_{2})，则|AB|=2\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}=2\sqrt{\frac{4}{1 + 4k^{2}}+\frac{4k^{2}}{1 + 4k^{2}}}=4\sqrt{\frac{1 + k^{2}}{1 + 4k^{2}}}。设D(x_{0},y_{0})，由\begin{cases}y^{2}=4x\\y = kx\end{cases}，得x_{0}=\frac{4}{k^{2}}，所以|OD|=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}=\frac{4\sqrt{1 + k^{2}}}{k^{2}}。因为|AB|=\frac{\sqrt{5}}{5}|OD|，所以4\sqrt{\frac{1 + k^{2}}{1 + 4k^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\times\frac{4\sqrt{1 + k^{2}}}{k^{2}}，所以k^{2}=1，因为k\lt0，所以k=-1，故直线l的方程为x + y = 0，所以|AB|=\frac{4\sqrt{10}}{5}。又点M到直线AB的距离d_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}，点F到直线AB的距离d_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}，所以四边形AMBF的面积S=\frac{1}{2}\times|AB|\times(d_{1}+d_{2})=\frac{1}{2}\times\frac{4\sqrt{10}}{5}\times\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{5}}{5}。$