《2025年全品基础小练习高考数学》

4.（13分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b sin(A - C) = c sin(B - A).
（1）证明：$b^{2} + c^{2} = 2a^{2}$；
（2）若△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求a的最小值.

答案： 解:
(1)证明:依题意，由正弦定理可得sinB(sinAcosC−sinCcosA)=sinC(sinBcosA−sinAcosB),
即2sinBsinCcosA=sinA(sinBcosC+sinCcosB)=sinAsin(B+C)=sin²A,
再由正弦定理可得a²=2bccosA=b²+c²−a²,
故2a²=b²+c².
(2)因为△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{3}$,
所以bc=$\frac{2\sqrt{3}}{\sin A}$,
又由余弦定理得a²=b²+c²−2bccosA=2a²−2bccosA,
所以a²=2bccosA=2×$\frac{2\sqrt{3}}{\sin A}$×cosA=$\frac{4\sqrt{3}}{\tan A}$,
又cosA=$\frac{b²+c²−a²}{2bc}$=$\frac{b²+c²}{4bc}$≥$\frac{2bc}{4bc}$=$\frac{1}{2}$,当且仅当b=c时取等号,
所以A∈(0,$\frac{\pi}{3}$],
从而a²≥$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=4,
即a≥2,
则a的最小值为2.

5.（13分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，$\sqrt{3}\sin A + \cos A = 1$.
（1）求角A的大小；
（2）若$a^{2} = 3bc$，求cos(B - C)的值；
（3）若3b + c = $\sqrt{3}(3\sin B + \sin C)$，求b + c的取值范围.

答案： 解:
(1)因为$\sqrt{3}\sin A+\cos A = 1$,
所以2sin(A+$\frac{\pi}{6}$)=1,
故sin(A+$\frac{\pi}{6}$)=$\frac{1}{2}$
因为A∈(0,π),所以A+$\frac{\pi}{6}$∈($\frac{\pi}{6}$,$\frac{7\pi}{6}$),故A+$\frac{\pi}{6}$=$\frac{5\pi}{6}$,解得A=$\frac{2\pi}{3}$
(2)由余弦定理得cosA=$\frac{b²+c²−a²}{2bc}$,
又A=$\frac{2\pi}{3}$,a²=3bc,所以$\frac{b²+c²−3bc}{2bc}$=−$\frac{1}{2}$,
故(b−c)²=0,
所以b=c,
故B=C,
所以cos(B−C)=cos0=1.
(3)由正弦定理得$\frac{b}{\sin B}$=$\frac{c}{\sin C}$=2R,R为△ABC外接圆的半径，
故b=2RsinB,c=2RsinC.
因为3b+c=$\sqrt{3}$(3sinB+sinC),
所以2R(3sinB+sinC)=$\sqrt{3}$(3sinB+sinC),
又B,C∈(0,π),
所以sinB＞0,sinC＞0,即3sinB+sinC＞0,
故2R=$\sqrt{3}$,又A=$\frac{2\pi}{3}$,
所以b+c=2RsinB+2RsinC=$\sqrt{3}$sinB+$\sqrt{3}$sin($\frac{\pi}{3}$−B)=$\sqrt{3}$sinB+$\sqrt{3}$sin$\frac{\pi}{3}$cosB−$\sqrt{3}$cos$\frac{\pi}{3}$sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB+$\frac{3}{2}$cosB=$\sqrt{3}$sin(B+$\frac{\pi}{3}$).
因为B∈(0,$\frac{\pi}{3}$),
所以B+$\frac{\pi}{3}$∈($\frac{\pi}{3}$,$\frac{2\pi}{3}$),
故sin(B+$\frac{\pi}{3}$)∈($\frac{\sqrt{3}}{2}$,1],
故b+c=$\sqrt{3}$sin(B+$\frac{\pi}{3}$)∈($\frac{3}{2}$,$\sqrt{3}$],
即b+c的取值范围是($\frac{3}{2}$,$\sqrt{3}$].