《2025年全品基础小练习高考数学》

1. 已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{k}=1$的一个焦点为$(0,2)$，则$k$的值为 ( )
A. 4
B. 8
C. 10
D. 12

答案： D

2. 已知方程$\frac{x^{2}}{m + 1}+\frac{y^{2}}{7 - m}=1$表示焦点在$y$轴上的椭圆，则实数$m$的取值范围是 ( )
A. $(-1,7)$
B. $(-1,3)$
C. $(3,7)$
D. $(-1,3)\cup(3,7)$

答案： B

3. 双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的离心率为$\sqrt{5}$，则双曲线的渐近线方程为 ( )
A. $y=\pm\frac{1}{2}x$
B. $y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x$
C. $y=\pm\sqrt{3}x$
D. $y=\pm2x$

答案： D

4. 已知$\triangle ABC$的顶点$B$，$C$在椭圆$\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$上，顶点$A$是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在$BC$边上，则$\triangle ABC$的周长是 ( )
A. $2\sqrt{3}$
B. 6
C. $4\sqrt{3}$
D. 12

答案： C

5. 已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{6}=1$的右焦点为$F$，过点$F$作一条渐近线的垂线，垂足为$P$，$O$为坐标原点，则$\triangle OPF$的面积为 ( )
A. $3\sqrt{2}$
B. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
C. $3\sqrt{3}$
D. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

答案： B

6. 已知$F_1$，$F_2$分别是椭圆$C:\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的左、右焦点，点$P$在椭圆$C$上且位于$y$轴右侧，过$F_1$作$\angle F_1PF_2$的平分线的垂线，垂足为$M$，若$|OM| = 2$($O$为坐标原点)，则$|PF_1|=$ ( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

答案： C

7. 已知椭圆$M:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt b\gt0)$的左、右焦点分别为$F_1$，$F_2$，点$P$在$M$上，$Q$为$PF_2$的中点，且$F_1Q\perp PF_2$，$|F_1Q| = b$，则$M$的离心率为 ( )
A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： C

8. 设$O$为坐标原点，$F_1$，$F_2$分别是双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的左、右焦点，已知双曲线$C$的离心率为$\sqrt{3}$，过$F_2$作$C$的一条渐近线的垂线，垂足为$P$，则$\frac{|PF_1|}{|OP|}=$ ( )
A. $\sqrt{6}$
B. 2
C. $\sqrt{3}$
D. $\frac{\sqrt{6}}{2}$

答案： A 

9. 已知方程$\frac{x^{2}}{4 - t}+\frac{y^{2}}{t - 1}=1$表示曲线$C$，则下列四个结论中正确的是 ( )
A. 当$1\lt t\lt4$时，曲线$C$是椭圆
B. 当$t\gt4$或$t\lt1$时，曲线$C$是双曲线
C. 若曲线$C$是焦点在$x$轴上的椭圆，则$1\lt t\lt\frac{5}{2}$
D. 若曲线$C$是焦点在$y$轴上的双曲线，则$t\gt4$

答案： BCD

10. 已知点$P$在双曲线$C:\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$上，$F_1$，$F_2$分别是双曲线$C$的左、右焦点，若$\triangle PF_1F_2$的面积为20，则 ( )
A. 点$P$到$x$轴的距离为$\frac{20}{3}$
B. $|PF_1|+|PF_2|=\frac{50}{3}$
C. $\triangle PF_1F_2$为钝角三角形
D. $\angle F_1PF_2=\frac{\pi}{3}$

答案： BC