《2025年全品基础小练习高考数学》

17. 如图，在三棱锥$P - ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$PA = AB = BC = 1$，$PC=\sqrt{3}$.
(1)求证：$BC\perp$平面$PAB$；
(2)求平面$PAC$与平面$PBC$夹角的大小.

答案：
17. 解：
(1)证明：因为$PA\perp$平面$ABC$，$BC\subset$平面$ABC$，所以$PA\perp BC$，同理$PA\perp AB$，所以$\triangle PAB$为直角三角形，所以$PB=\sqrt{PA^{2}+AB^{2}}=\sqrt{2}$，又$BC = 1,PC=\sqrt{3}$，所以$PB^{2}+BC^{2}=PC^{2}$，则$\triangle PBC$为直角三角形，所以$BC\perp PB$，因为$PA\cap PB = P$，$PA,PB\subset$平面$PAB$，所以$BC\perp$平面$PAB$.
(2)由
(1)知$BC\perp$平面$PAB$，又$AB\subset$平面$PAB$，所以$BC\perp AB$，以$A$为原点，$AB$所在直线为$x$轴，过$A$且与$BC$平行的直线为$y$轴，$AP$所在直线为$z$轴，建立空间直角坐标系，如图，则$A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(1,0,0)$，所以$\overrightarrow{AP}=(0,0,1),\overrightarrow{AC}=(1,1,0),\overrightarrow{BC}=(0,1,0),\overrightarrow{PC}=(1,1,-1)$.设平面$PAC$的法向量为$m=(x_{1},y_{1},z_{1})$，则$\begin{cases}m\cdot\overrightarrow{AP}=0\\m\cdot\overrightarrow{AC}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}z_{1}=0\\x_{1}+y_{1}=0\end{cases}$，令$x_{1}=1$，则$y_{1}=-1,z_{1}=0$，所以$m=(1,-1,0)$.设平面$PBC$的法向量为$n=(x_{2},y_{2},z_{2})$，则$\begin{cases}n\cdot\overrightarrow{BC}=0\\n\cdot\overrightarrow{PC}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}y_{2}=0\\x_{2}+y_{2}-z_{2}=0\end{cases}$，令$x_{2}=1$，则$y_{2}=0,z_{2}=1$，所以$n=(1,0,1)$，所以$\cos\langle m,n\rangle=\frac{m\cdot n}{|m||n|}=\frac{1}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，所以平面$PAC$与平面$PBC$夹角的大小为$\frac{\pi}{3}$. 

18. 已知函数$f(x)=\ln\frac{x}{2 - x}+ax + b(x - 1)^{3}$.
(1)若当且仅当$1＜x＜2$时，$f(x)＞-2$成立，求$a$的值；
(2)若$b = 0$，且$f^{\prime}(x)\geqslant0$，求$a$的最小值；
(3)证明：曲线$y = f(x)$是中心对称图形.

答案： 18. 解：
(1)因为$f(x)=\ln\frac{x}{2 - x}+ax + b(x - 1)^{3}$，所以$\frac{x}{2 - x}>0$，解得$0-2$成立，且$f(x)=\ln\frac{x}{2 - x}+ax + b(x - 1)^{3}$的图象是连续的，所以$x = 1$为$f(x)=-2$的一个解，所以$f(1)=-2$，即$a=-2$.
(2)当$b = 0$时，$f(x)=\ln\frac{x}{2 - x}+ax$，其中$x\in(0,2)$，则$f^{\prime}(x)=\frac{2}{x(2 - x)}+a,x\in(0,2)$，因为$x(2 - x)\leqslant(\frac{2 - x + x}{2})^{2}=1$，当且仅当$x = 1$时等号成立，所以$f^{\prime}(x)_{\min}=2 + a$，因为$f^{\prime}(x)\geqslant0$，所以$a + 2\geqslant0$，可得$a\geqslant-2$，所以$a$的最小值为$-2$.
(3)证明：由$x\in(0,2)$，得$f(2 - x)+f(x)=\ln\frac{2 - x}{x}+a(2 - x)+b(1 - x)^{3}+\ln\frac{x}{2 - x}+ax + b(x - 1)^{3}=2a$，所以$f(x)$的图象关于点$(1,a)$中心对称.