《2025年全品基础小练习高考数学》

9. 已知$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| = 1$，则下列结论正确的是 （ ）
A. $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}$
B. $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=\frac{1}{2}$
C. $\langle\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\pi}{6}$
D. $(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{a}=0$

答案： 9.AB

10. 已知向量$\boldsymbol{a}=(-1,1)$，$\boldsymbol{b}=(-2,3)$，$\boldsymbol{c}=(m,n - 1)$，则 （ ）
A. $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{5}$
B. 当$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})//\boldsymbol{c}$时，$4m + 3n = 3$
C. 当$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{c}$时，$m + n = 1$
D. $\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$上的投影向量为$\left(-\frac{10}{13},\frac{15}{13}\right)$

答案： 10.BD

11. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB\perp AC$，$\angle ACB = 30^{\circ}$，$AB = 4$，$D$为线段$AC$的中点，$DM\perp BC$，$F$为线段$AB$的中点，$E$为线段$DM$上的动点，则下列结论正确的是 （ ）
A. 若$E$为线段$DM$的中点，则$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}$
B. 若$E$为线段$DM$的中点，则$|\overrightarrow{EF}|=\frac{9}{2}$
C. $\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FD}=16$
D. $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{AB}$的取值范围为$[2,8]$

答案： 11.ACD

12. 已知$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol{b}=(x,4)$，若$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角是锐角，则实数$x$的取值范围是________.

答案： 12.x＞−8且x≠2　[解析]向量a=(1,2),b=(x,4),由a与b的夹角是锐角,得a.b＞0且a,b不共线，则x2x+≠84＞,0,解得x＞−8且x≠2,所以实数x的取值范围是x＞−8且x≠2.

13. 已知$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，若$a = 8$，$b = 9$，$c = 7$，则$BC$边上的中线$AM$的长为________.

答案： 13.7

14. 如图，单位向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夹角为$\frac{\pi}{2}$，点$C$在以$O$为圆心，1为半径的弧$AB$上运动，则$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$的最小值为________.

答案： $14.1-\sqrt{2}$