《2025年全品基础小练习高考数学》

1. 正方体的外接球与内切球的表面积之比是( )
A. $\frac{1}{3}$
B. 3
C. $3\sqrt{3}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{9}$

答案： B

2. [教材改编] 高为2的圆锥内接于半径为2的球，则该圆锥的体积为( )
A. $\frac{4\pi}{3}$
B. $\frac{8\pi}{3}$
C. $\frac{2\pi}{3}$
D. $2\pi$

答案： B

3. 已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面圆周都在同一个表面积为$20\pi$的球面上，该圆柱的体积为( )
A. $8\pi$
B. $6\pi$
C. $5\pi$
D. $4\pi$

答案： D

4. 已知直三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$的6个顶点都在球$O$的球面上，若$AB = 3$，$AC = 4$，$AB\perp AC$，$AA_{1}=12$，则球$O$的半径为( )
A. $\frac{3\sqrt{17}}{2}$
B. $2\sqrt{10}$
C. $\frac{13}{2}$
D. $3\sqrt{10}$

答案： C

5. 已知$\triangle ABC$是面积为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$的等边三角形，且其顶点都在球$O$的球面上.若球$O$的表面积为$16\pi$，则$O$到平面$ABC$的距离为( )
A. $\sqrt{3}$
B. $\frac{3}{2}$
C. 1
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 5.C　

6. 已知正三棱台的高为1，上、下底面的边长分别为$3\sqrt{3}$和$4\sqrt{3}$，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. $100\pi$
B. $128\pi$
C. $144\pi$
D. $192\pi$

答案： 6.A

7. 底面圆周长为$2\pi$，母线长为4的圆锥内切球的体积为( )
A. $\frac{\sqrt{15}\pi}{5}$
B. $\frac{13\pi}{25}$
C. $\frac{4\sqrt{15}\pi}{25}$
D. $\frac{\sqrt{15}\pi}{25}$

答案： 7.C　

8. 在三棱锥$P - ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，且$AB + PA = 6$，当三棱锥$P - ABC$的体积最大时，该三棱锥外接球的体积是( )
A. $27\pi$
B. $36\pi$
C. $54\pi$
D. $72\pi$

答案： 8.B