《2025年全品基础小练习高考数学》

1. [教材改编] 函数$f(x)=\sin x + x$的零点个数为 （ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

答案： B

2. 函数$f(x)=\ln x + x^{2}-2$的零点所在区间是 （ ）
A. $(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$
B. $(\frac{\sqrt{2}}{2},1)$
C. $(1,\sqrt{2})$
D. $(\sqrt{2},2)$

答案： C

3. 已知函数$f(x)=\begin{cases}x^{3}-2x,x\leq0\\-\ln x,x＞0\end{cases}$，若函数$g(x)=f(x)-x - a$有3个零点，则实数$a$的取值范围是 （ ）
A. $[0,2)$
B. $[0,1)$
C. $(-\infty,2]$
D. $(-\infty,1]$

答案： A

4. 设$a\in\mathbf{R}$，$\text{e}$为自然对数的底数，函数$f(x)=\text{e}^{x}-a\sin x$在$(0,\pi)$内有且仅有一个零点，则$a =$ （ ）
A. $\text{e}^{\pi}$
B. -1
C. $\text{e}^{\frac{\pi}{2}}$
D. $\sqrt{2}\text{e}^{\frac{\pi}{4}}$

答案： D

5. 已知函数$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx + c$，则“$a^{2}-3b＞0$”是“$f(x)$有三个不同的零点”的 （ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： B

6. 已知函数$f(x)=\frac{1}{2}ax^{2}+\ln(x - 1)-a(x + 1)$，则下列说法正确的是 （ ）
A. 当$a＜0$时，函数$f(x)$没有零点
B. 当$a＞0$时，函数$f(x)$有一个零点
C. 当$a = 0$时，函数$f(x)$没有零点
D. 无论$a$为何值，函数$f(x)$都没有两个零点

答案： B

7. 已知函数$f(x)=(x - 1)\text{e}^{x}$，则下列结论正确的是 （ ）
A. 函数$f(x)$有两个零点
B. 函数$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增
C. 函数$f(x)$有一个零点
D. 当$a = -1$或$a\geq0$时，方程$f(x)=a$有1个解

答案： BCD

8. 对于函数$f(x)=\frac{\ln x}{x^{2}}$，下列说法正确的是 （ ）
A. $f(x)$在$x=\sqrt{\text{e}}$处取得极大值$\frac{1}{2\text{e}}$
B. $f(x)$有两个不同的零点
C. $f(\sqrt{2})＜f(\sqrt{\pi})＜f(\sqrt{3})$
D. 当$0＜a＜\frac{1}{2\text{e}}$时，方程$f(x)=a$有两解

答案： ACD

9. 已知函数$f(x)=\text{e}^{x}-2x + a$有零点，则实数$a$的取值范围是______________.

答案： (−∞,2ln2−2]　

10. 已知函数$f(x)=(x^{2}+a)\text{e}^{x}$，$x\in\mathbf{R}$存在最小值，则函数$g(x)=x^{2}+2x + a$的零点个数为________.

答案： 2