《2025年全品基础小练习高考数学》

1. 已知向量$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}| = 6$,$|\boldsymbol{b}| = 3$,且两向量的夹角为$\frac{\pi}{3}$,则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=$ ( )
A. 18
B. 9
C. $9\sqrt{3}$
D. $-9\sqrt{3}$

答案： B

2. [教材改编] 设$\boldsymbol{a}=(1,-2)$,$\boldsymbol{b}=(-3,4)$,$\boldsymbol{c}=(3,2)$,则$(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=$ ( )
A. 12
B. 0
C. -3
D. -11

答案： C

3. 若向量$\boldsymbol{a}=(-1,2)$,$\boldsymbol{b}=(2,3)$,则$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$上的投影向量为 ( )
A. (8,12)
B. $(-\frac{8}{13},\frac{12}{13})$
C. $(\frac{8}{13},\frac{12}{13})$
D. $\frac{4\sqrt{13}}{13}$

答案： C

4. 已知非零向量$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}| = 3|\boldsymbol{b}|$,$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{2}{3}$,若$\boldsymbol{b}\perp(k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$,则实数$k=$ ( )
A. -3
B. $-\frac{1}{3}$
C. -2
D. $-\frac{1}{2}$

答案： D

5. 在$\triangle ABC$中,$C = 90^{\circ}$,$AC = 4$,$BC = 3$,点$P$是$AB$的中点,则$\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CP}=$ ( )
A. $\frac{9}{4}$
B. 4
C. $\frac{9}{2}$
D. 6

答案： 5.C

6. 已知向量$\boldsymbol{a}$与向量$\boldsymbol{b}$共线,$\boldsymbol{a}=(-4,3)$,$|\boldsymbol{b}| = 10$,且向量$\boldsymbol{b}$与向量$\boldsymbol{c}=(1,1)$的夹角为锐角,则向量$\boldsymbol{b}=$ ( )
A. (-8,6)
B. (6,-8)
C. (8,-6)
D. (-6,8)

答案： 6.C

7. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=\sqrt{2}$,$BC = 2$,点$E$为$BC$的中点,点$F$在$CD$上,若$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AF}=\sqrt{2}$,则$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BF}$的值是 ( )

A. $\sqrt{2}$
B. 2
C. 0
D. 1

答案： 7.A

8. 已知$\triangle ABC$的外接圆半径为1,圆心为$O$,且$\overrightarrow{OA}+\sqrt{3}\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{0}$,则$\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{AB}$的值为 ( )
A. $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$
C. $-\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

答案： 8.A