《2025年全品基础小练习高考数学》

1.　已知向量|a|=3,|b|=5,设a与b的夹角为60°,则b在a上的投影向量为　　　　　(　　)
　
A.　−$\frac{5\sqrt{3}}{6}$a　　　　　　B.$\frac{5\sqrt{3}}{6}$a
　
C.$\frac{5}{6}$a　　　　　　　　D.　−$\frac{5}{6}$a

答案： C

2.　已知向量a=(1,−3),b=(4,−2),若λa−b 与b垂直,则λ=　　　　　　　　　　　　(　　)
　
A.　−1　　　　　　　　B.1
　
C.−2　　　　　　　　D.2

答案： D

3.　已知菱形ABCD的边长为4,点M是边CD 的中点,BN=2NC,则AN·(BM−BN)=
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　)
　
A.−$\frac{40}{9}$
　B.$\frac{40}{9}$　　
　C.−$\frac{20}{9}$　
　D.$\frac{20}{9}$

答案： A

4. 如图，将2个全等的三角板拼成一个平面四边形ABCD,若AB=1,AC=2,AD⊥CD,点P为AB边的中点,则DP·CP=　　　　　　　　　(　　)
　
A.1　　　　　　　　　B.2
　
C.3　　　　　　　　　D.4

答案： A

5.　已知向量a=(3,3),b=(x,−2),则“x＜2”是“a与b的夹角为钝角”的　　　　　　(　　)
　
A.充分不必要条件
　
B.必要不充分条件
　
C.充要条件
　
D.既不充分也不必要条件

答案： B

6.　已知等腰梯形ABCD中,AB//DC,AB=
　2DC=2AD=2,BC的中点为E,则AE=
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　)
　
A.$\frac{1}{3}$DB+$\frac{5}{3}$AC　　　B.$\frac{1}{3}$DB+$\frac{5}{6}$AC
　
C.$\frac{1}{3}$DB+$\frac{1}{2}$AC　　　D.$\frac{2}{3}$DB+$\frac{5}{6}$AC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1

答案： B　

7.　已知梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=$\frac{π}{3}$,
AB=2,BC=4,AD=1,点P,Q在线段BC 上移动,且PQ=1,则DP·DQ的最小值为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　)
　　　　　　　　　　　　
A.1　　
　B.$\frac{11}{2}$　　
　C.$\frac{13}{2}$　　
　D.$\frac{11}{4}$

答案： D　

8.　已知向量a=(1,−2),b=(−1,m),则下列说法正确的是　　　　　　　　　　　　　(　　)
　　　　　　　　　　　　
A.若a与b垂直,则m=一$\frac{1}{2}$
　　　　　　　　　　　　
B.若a//b,则a·b的值为−5
　　　　　　　　　　　　
C.若m=2,则|a−b||=2$\sqrt{5}$
　　　　　　　　　　　　
D.若m=−2,则a与b的夹角为60°

答案： ABC

9. 如图,正方形ABCD的边长为2,E是BC的中点，点P是以AB为直径的半圆上任意一点,AP=λAE+μAD,则下列结论正确的有
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　)
　　　　　　　　　　　　
A.λ的最大值为1
　　　　　　　　　　　　
B.　　　最大值为1
　　　　　　　　　　　　
C.$\frac{λ}{AP}$·AD的最大值是2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
D.AP·AE的最大值为　$\sqrt{5}$+2

答案： ACD　

10. 在△ABC中,∠BAC=$\frac{π}{3}$,AB=2,AC=3,
BD=2DC,则AD·BC=________.

答案： $\frac{11}{3}$　

11.　已知a,b均为非零向量,且|a|=|b|=|a−b|,则向量a与a+b的夹角为________.

答案： $\frac{π}{6}$　

12. 如图,在△ABC中,∠BAC=$\frac{π}{3}$,AD=2DB,P为CD上 一点，且满足AP=mAC+$\frac{1}{2}$AB,若AC=3,AB=4,则AP·CD的值为________.

答案： $\frac{13}{12}$