《2025年全品基础小练习高考数学》

1. 直线$y=\frac{1}{3}(x - \frac{7}{2})$与双曲线$\frac{x^{2}}{9}-y^{2}=1$交点的个数是 ( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

答案： B

2. 已知直线$l:y = kx + 1$，椭圆$C:\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$，则“$k = 0$”是“直线$l$与椭圆$C$相切”的 ( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： C

3. 直线$l$过抛物线$C:y^{2}=2px(p\gt0)$的焦点，且与$C$交于$A$，$B$两点，若使$|AB| = 2$的直线$l$恰有2条，则$p$的取值范围为 ( )
A. $0\lt p\lt1$
B. $0\lt p\lt2$
C. $p\gt1$
D. $p\gt2$

答案： A

4. 椭圆$C:x^{2}+2y^{2}=1$的右焦点为$F$，若直线$l$过点$F$与$C$交于$A$，$B$，则$|AB|$的最小值为 ( )
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. 1
C. $\sqrt{2}$
D. 2

答案： B

5. 已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$，一组斜率为$\frac{3}{2}$的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为 ( )
A. $y=\frac{1}{2}x$
B. $y = - 2x$
C. $y=-\frac{1}{2}x$
D. $y = 2x$

答案： 5.C

6. 抛物线$C:y=\frac{1}{4}x^{2}$，过焦点$F$的直线$l$与抛物线$C$交于$A$，$B$两点，若$3\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{FB}$，则直线$AB$的倾斜角为 ( )
A. $30^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $30^{\circ}$或$150^{\circ}$
D. $60^{\circ}$或$120^{\circ}$

答案： 6.C

7. 已知直线$l:x = m(y - 3)$与曲线$C:x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{4 - y^{2}}$有两个公共点，则$m$的取值范围是 ( )
A. $(-\frac{\sqrt{15}}{3},\frac{\sqrt{15}}{3})$
B. $(-\frac{\sqrt{15}}{3},0]$
C. $(-\frac{\sqrt{15}}{5},0)$
D. $(-\frac{\sqrt{15}}{5},0]$

答案： 7.D

8. 已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)$的左焦点为$F_{1}$，圆$O:x^{2}+y^{2}=a^{2}$.若过$F_{1}$的直线分别交$C$的左、右两支于$A$，$B$两点，且圆$O$与直线$AB$相切，$C$的离心率为3，$F_{1}$到$C$的渐近线的距离为$2\sqrt{2}$，则$|AB| = $ ( )
A. $\frac{32}{7}$
B. $\frac{30}{7}$
C. $\frac{20}{7}$
D. $\frac{16}{7}$

答案： 8.D