《2025年全品基础小练习高考数学》

11. 已知函数$f(x)=x(e^{x}-a)$，则下列说法正确的是 ( )
A. 函数$f(x)$的图象经过坐标原点
B. 当$a\gt0$时，函数$f(x)$有且仅有一个极小值点
C. 若关于$x$的不等式$f(x)\geqslant0$恒成立，则$a = e$
D. 若函数$f(x)$为增函数，则$a\leqslant-\frac{1}{e^{2}}$

答案： 11.ABD　

12. 已知$p$：$\forall x\in\mathbf{R}$，$x^{2}-\lambda x + 2\geqslant0$为假命题，则实数$\lambda$的取值范围是______________.

答案： 12.$(−∞,−2\sqrt{2})U(2\sqrt{2},+∞)$

13. 已知函数$f(x)=\sin(\omega x+\varphi)(\omega\gt0,|\varphi|\lt\pi)$在区间$(\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3})$上单调递增，直线$x = \frac{\pi}{6}$和直线$x = \frac{2\pi}{3}$为函数$y = f(x)$的图象的两条对称轴，则$f(-\frac{5\pi}{12})=$__________.

答案： 13.$\frac{\sqrt{3}}{2}$　

14. 如图，某同学为了测量学校天文台$CD$的高度，在学校宿舍楼三楼一阳台$A$处测得$A$到地面的距离$AB$为$30(2-\sqrt{3})\text{m}$，在天文台与宿舍楼之间的地面上一点$M$处测得阳台$A$，天文台顶$C$的仰角分别是$15^{\circ}$和$30^{\circ}$，在阳台$A$处测得天文台顶$C$的仰角为$15^{\circ}$，假设$AB$，$CD$和点$M$在同一平面内，则学校天文台$CD$的高度为_______$\text{m}$.

答案： 14.30　

15. 在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，已知$2c\cdot\cos C = b\cdot\cos A + a\cdot\cos B$.
(1)求角$C$；
(2)若$a = 9$，$\cos A = -\frac{4}{5}$，求$c$.

答案： $15.解:(1)由余弦定理得b.cosA+a.cosB=b.\frac{b²+c²−a²}{2bc}+a.\frac{a²+c²−b²}{2ac}=c,$
$∵2c.cosC=b.cosA+a.cosB,$
$∴2c.cosC=c,$
$又c＞0,$
$∴2cosC=1,$
$∴cosC=\frac{1}{2}$,
$又C为△ABC的内角,$
$∴0＜C＜π,$
$∴C=\frac{π}{3}$
$(2)由(1)知,C=\frac{π}{3}$,
$∵A为△ABC的内角,$
$∴0＜A＜π,$
$又cosA=−\frac{4}{5}$
$∴sinA=\sqrt{1−cos²A}=\sqrt{1−(−\frac{4}{5})²}=\frac{3}{5}$.
$由正弦定理得\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$,
$∵a=9,$
$∴\frac{9}{\frac{3}{2}}=\frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$∴c=\frac{9×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{5}}=\frac{15\sqrt{3}}{2}$.

16. 已知函数$f(x)=me^{x}-\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{x}-1$.
(1)当$m = 0$时，求$f(x)$的单调区间；
(2)若对任意的$x\in(0,+\infty)$，$f(x)\geqslant0$恒成立，求实数$m$的最小值.

答案： $16.解:(1)函数f(x)的定义城为(0,+∞),$
$当m=0时,f(x)=−\frac{1nx}{x}−\frac{1}{x}−1,$
$则f'(x)=\frac{lnx}{x²}$,
$当x∈(0,1)时,f'(x)＜0,f(x)单调递减,$
$当x∈(1,+∞)时,f'(x)＞0,f(x)单调递增,$
$所以f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).$
$(2)因为对任意的x∈(0,+∞),f(x)≥0恒成立,$
$所以m≥\frac{x+lnx+1}{xe^x}对任意的x∈(0,+∞)恒成立,$
$令g(x)=\frac{x+lnx+1}{xe^x}$,
$则g'(x)=\frac{−(x+1)(x+1nx)}{xe^x}$,
$令h(x)=x+lnx,则h(x)在(0,+∞)上单调递增，$
$因为h(\frac{1}{e})=\frac{1}{e}−1＜0,h(1)=1＞0,$
$所以存在x_0∈(\frac{1}{e},1),使得h(x_0)=x_0+lnx_0=0,$
$所以当x∈(0,x_0)时,h(x)＜0,g'(x)＞0,g(x)单调递增,$
$当x∈(x_0,+∞)时,h(x)＞0,g'(x)＜0,g(x)单调递减.$
$由x_0+lnx_0=0,可得x_0=−1nx_0,$
$则e^{x_0}=e^{-lnx_0}=\frac{1}{x_0}$
$所以g(x)max=g(x_0)=\frac{x_0+lnx_0+1}{x_0e^{x_0}}=1,$
$所以m≥1,$
$故实数m的最小值为1.$