《2025年全品基础小练习高考数学》

11. 已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{1 - m}=1$的焦点在$x$轴上，且$F_1$，$F_2$分别为椭圆$C$的左、右焦点，$P$为椭圆$C$上一点，则下列结论正确的是 ( )
A. $\frac{1}{2}\lt m\lt1$
B. 椭圆$C$的离心率为$\sqrt{\frac{1}{m}}$
C. 存在$m$，使得$\angle F_1PF_2 = 90^{\circ}$
D. $\triangle F_1PF_2$面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$

答案： ACD

12. [教材改编] 双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的左、右焦点分别是$F_1$与$F_2$，$M$是双曲线右支上的一点，且$|MF_1| = 7$，则$|MF_2|=$________.

答案： 1 

13. 已知椭圆$C_1:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt b\gt0)$的左、右焦点分别为$F_1$，$F_2$，$M$是$C_1$上任意一点，$\triangle MF_1F_2$的面积的最大值为$\sqrt{3}$，$C_1$的焦距为2，则双曲线$C_2:\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$的实轴长为________.

答案： 4 

14. 已知椭圆$\frac{y^{2}}{6}+\frac{x^{2}}{5}=1$的上、下焦点分别为$F_1$，$F_2$，点$P$为椭圆上的任意一点，则$\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}$的最大值为________.

答案： 5