《2025年全品基础小练习高考数学》

1.（17分）如图，在四棱锥P - ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.
(1)若∠ABC = 60°，求证：AB⊥平面PAE.
(2)棱PB上是否存在点F，使得CF//平面PAE？说明理由.
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答案：
$1. 解： (1)证明：因为 PA\perp平面 ABCD，AB\subset平面 ABCD，$
$所以PA\perp AB。$
$因为底面ABCD为菱形，E为 CD的中点，\angle ABC = 60^{\circ}，$
$所以AB\perp AE。$
$又 PA\cap AE = A，PA，AE\subset平面 PAE，$
$所以 AB\perp平面 PAE。 $
$(2)棱PB上存在中点 F，使得 CF//平面 PAE。 理由如下：$
$取 AB的中点 G，连接 CG，CF，GF，$
$因为底面ABCD为菱形，E为CD的中点，F，G分别为PB，AB的中点，$
$所以 CG// AE，GF// PA。$
$因为 CG\not\subset平面 PAE，AE\subset平面 PAE，$
$所以 CG//平面 PAE；$
$同理，因为 GF\not\subset平面 PAE，PA\subset平面 PAE，$
$所以 GF//平面 PAE。$
$又因为 CG\cap GF = G，CG，GF\subset平面 CFG，$
$所以平面CFG//平面PAE，$
$因为CF\subset平面 CFG，$
$所以棱PB上存在中点F，使得CF//平面PAE。$

2.（17分）在长方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，AB = 2AD = 2，E是棱CD的中点.
(1)求证：平面AED₁⊥平面BEB₁；
(2)若异面直线EB₁与DC₁所成的角为30°，求EB₁与平面AED₁所成角的正弦值.

答案：
$ 2. 解：依题意，以 D为原点，DA，DC，DD_1所在直线分别为 x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。不妨设 D_1(0,0,h)(h > 0)，易知 D(0,0,0)，A(1,0,0)，E(0,1,0)，B(1,2,0)，B_1(1,2,h)。(1)证明：依题意得 \overrightarrow{AE}=(-1,1,0)，\overrightarrow{EB}=(1,1,0)，\overrightarrow{BB_1}=(0,0,h)，所以 \overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{EB}=0，\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BB_1}=0，则 AE\perp EB，AE\perp BB_1，又 EB\cap BB_1 = B，EB，BB_1\subset平面 BEB_1，所以 AE\perp平面 BEB_1，又 AE\subset平面 AED_1，所以平面 AED_1\perp平面 BEB_1。 (2)依题意得 C_1(0,2,h)，\overrightarrow{EB_1}=(1,1,h)，\overrightarrow{DC_1}=(0,2,h)，则 |\cos\langle\overrightarrow{EB_1},\overrightarrow{DC_1}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{EB_1}\cdot\overrightarrow{DC_1}|}{|\overrightarrow{EB_1}||\overrightarrow{DC_1}|}=\frac{2 + h^{2}}{\sqrt{2+h^{2}}\times\sqrt{4 + h^{2}}}=\cos30^{\circ}，解得 h = 2（负值舍去），故 D_1(0,0,2)，则 \overrightarrow{AD_1}=(-1,0,2)，\overrightarrow{AE}=(-1,1,0)，\overrightarrow{EB_1}=(1,1,2)。 设平面 AED_1的法向量为 \boldsymbol{m}=(x,y,z)，则 \begin{cases}\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{AD_1}=-x + 2z = 0\\\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{AE}=-x + y = 0\end{cases}，取 z = 1，则 x = 2，y = 2，故 \boldsymbol{m}=(2,2,1)，则 \cos\langle\boldsymbol{m},\overrightarrow{EB_1}\rangle=\frac{\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{EB_1}}{|\boldsymbol{m}||\overrightarrow{EB_1}|}=\frac{6}{\sqrt{9}\times\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}，所以 EB_1与平面 AED_1所成角的正弦值为 \frac{\sqrt{6}}{3}。$