《2025年全品基础小练习高考数学》

1.（15分）已知$M(4,0)$，$N(1,0)$，若动点$P$满足$\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{MP}=6|\overrightarrow{NP}|$.
(1)求动点$P$的轨迹$C$的方程；
(2)若斜率为1的直线$l$与曲线$C$交于$A$，$B$两点，且$|AB|=\frac{12\sqrt{2}}{7}$，求直线$l$的方程.

答案： $1. 解： (1)设P(x,y)，则结合已知条件得\overrightarrow{MN}=(-3,0)，\overrightarrow{MP}=(x - 4,y)，\overrightarrow{NP}=(x - 1,y)，因为\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{MP}=6|\overrightarrow{NP}|，所以-3(x - 4)=6\sqrt{(x - 1)^{2}+y^{2}}，整理得x^{2}-8x + 16 = 4(x^{2}-2x + 1)+4y^{2}，即3x^{2}+4y^{2}=12，所以点P的轨迹C的方程为\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1。 (2)根据已知条件可设直线l:y = x + m，将y = x + m代入方程\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1，整理得7x^{2}+8mx + 4m^{2}-12 = 0，设A(x_{1},y_{1})，B(x_{2},y_{2})，则\Delta=64m^{2}-28\times(4m^{2}-12)\gt0，解得m^{2}\lt7，所以x_{1}+x_{2}=-\frac{8m}{7}，x_{1}x_{2}=\frac{4m^{2}-12}{7}，则|AB|=\sqrt{1 + 1^{2}}|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{2}\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{2}\sqrt{(-\frac{8m}{7})^{2}-4\times\frac{4m^{2}-12}{7}}=\frac{12\sqrt{2}}{7}，整理得m^{2}=4，满足m^{2}\lt7，所以m=\pm2，即直线l的方程为y = x + 2或y = x - 2。$

2.（15分）已知过抛物线$C:y^{2}=2px(p ＞ 0)$的焦点$F$的直线$l$交抛物线$C$于$A$，$B$两点，当直线$l$垂直于$x$轴时，$|AB| = 16$.
(1)求抛物线$C$的方程；
(2)若$|AB| = 24$，$O$为坐标原点，求$\triangle OAB$的面积.

答案： $2. 解： (1)抛物线C:y^{2}=2px(p\gt0)的焦点为F(\frac{p}{2},0)，令x=\frac{p}{2}，则y=\pm p，所以当l垂直于x轴时，|AB| = 2p = 16，解得p = 8，所以抛物线C的方程为y^{2}=16x。 (2)依题意，设直线l的方程为y = k(x - 4)，由\begin{cases}y = k(x - 4)\\y^{2}=16x\end{cases}，得k^{2}x^{2}-(8k^{2}+16)x + 16k^{2}=0，k\neq0，设A(x_{1},y_{1})，B(x_{2},y_{2})，\Delta=(8k^{2}+16)^{2}-4\times k^{2}\times16k^{2}=256(k^{2}+1)\gt0恒成立，x_{1}+x_{2}=\frac{8k^{2}+16}{k^{2}}，|AB|=x_{1}+x_{2}+p=\frac{8k^{2}+16}{k^{2}}+8=\frac{16}{k^{2}}+16 = 24，得k=\pm\sqrt{2}，则直线l的方程为y=\pm\sqrt{2}(x - 4)。点O到直线l的距离d=\frac{|\pm4\sqrt{2}|}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}，所以\triangle OAB的面积S=\frac{1}{2}\times d\times|AB|=\frac{1}{2}\times\frac{4\sqrt{6}}{3}\times24 = 16\sqrt{6}。 $