《2025年全品基础小练习高考数学》

9. 已知$A$，$B$，$C$三点均在球$O$的球面上，$AB = BC = CA = 2$，且球心$O$到平面$ABC$的距离等于球$O$半径的$\frac{1}{3}$，则下列结论正确的是( )
A. 球$O$的表面积为$6\pi$
B. 球$O$的内接正方体的棱长为1
C. 球$O$的外切正方体的棱长为$\frac{4}{3}$
D. 球$O$的内接正四面体的棱长为2

答案： 9.AD　

10. 如图，在直三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$AA_{1}=2$，$AB = BC = 1$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，侧面$AA_{1}C_{1}C$的对角线交于点$O$，点$E$是侧棱$BB_{1}$上的一个动点，则下列结论正确的是( )

A. 该直三棱柱的体积是1
B. 该直三棱柱的外接球的表面积是$6\pi$
C. 三棱锥$E - AA_{1}O$的体积与点$E$的位置有关
D. $AE + EC_{1}$的最小值为$2\sqrt{2}$

答案： 10.ABD　

11. 如图，在边长为4的正方形$ABCD$中剪掉四个阴影部分的等腰三角形，其中$O$为正方形的中心，$OE = OE' = OF = OF' = OG = OG' = OH = OH'$，将其余部分折叠围成一个封闭的正四棱锥，若该正四棱锥的内切球半径为$\frac{1}{2}$，则该正四棱锥的表面积可能为( )

A. 12
B. $4 + 4\sqrt{5}$
C. 8
D. $5 + 2\sqrt{5}$

答案： 11.BC　

12. 有一个底面边长分别为3，4，5的直三棱柱，如果该三棱柱存在内切球，即球与三棱柱的各个面都相切，那么该三棱柱的体积为________.

答案： 12.12　

13. 正四面体$P - ABC$外接球的体积为$\sqrt{6}\pi$，则其内切球的表面积为________.

答案： 13.$\frac{2π}{3}$　

14. 在三棱锥$P - ABC$中，$AC\perp$平面$PAB$，$AB = 6$，$AC = 10$，$BP = 2\sqrt{2}$，$\angle ABP = 45^{\circ}$，则三棱锥$P - ABC$外接球的表面积为________.

答案： 14.140π