《2025年全品基础小练习高考数学》

9. 已知数列$\{ a_{n}\} $满足$a_{1}=2$，$a_{n + 1}=2-\frac{1}{a_{n}}$，则( )
A. $a_{3}=\frac{4}{3}$
B. $\{\frac{1}{a_{n}-1}\}$为等比数列
C. $a_{n}=\frac{n + 1}{n}$
D. 数列$\{\ln a_{n}\} $的前$n$项和为$\ln(n + 1)$

答案： ACD

10. 若数列$\{ a_{n}\} $满足$a_{1}=1$，$a_{2}=3$，$a_{n}a_{n - 2}=a_{n - 1}(n\geqslant3)$，记数列$\{ a_{n}\} $的前$n$项积为$T_{n}$，则下列结论正确的有( )
A. $T_{n}$无最大值
B. $a_{n}$有最大值
C. $T_{2025}=9$
D. $a_{2025}=3$

答案： BCD

11. 设首项为1的数列$\{ a_{n}\} $的前$n$项和为$S_{n}$，已知$S_{n + 1}=2S_{n}+n - 1$，则下列结论正确的是( )
A. 数列$\{ a_{n}+1\}$为等比数列
B. 数列$\{ a_{n}\} $的通项公式为$a_{n}=2^{n - 1}-1$
C. 数列$\{ S_{n}+n\}$为等比数列
D. 数列$\{ S_{n + 1}-S_{n}+1\}$为等比数列

答案： CD

12. 在数列$\{ a_{n}\} $中，$a_{1}=2$，$a_{2}=3$，若数列$\{ a_{n}\} $的前$n$项和$S_{n}$满足$S_{n + 1}+S_{n - 1}=2S_{n}+1(n\geqslant2,n\in\mathbf{N}^{*})$，则数列$\{ a_{n}\} $的通项公式为$a_{n}=$________.

答案： n+1

13. 在数列$\{ a_{n}\} $中，$a_{1}=\frac{1}{2}$，$a_{n + 1}-a_{n}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})$，则该数列的通项公式为$a_{n}=$________.

答案： $\frac{4n - 3}{4n - 2}$

14. 在数列$\{ a_{n}\} $中，$a_{1}=4$，$a_{n + 1}=3a_{n}-2$，若对于任意的$n\in\mathbf{N}^{*}$，$k(a_{n}-1)\geqslant2n - 5$恒成立，则实数$k$的最小值为________.

答案： $\frac{1}{27}$