《2025年全品基础小练习高考数学》

10. 已知函数$f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的奇函数，$g(x)=(x - 2)f(x)$，若$g(4 - x)=g(x)$，$f(-1)=-2$，$f(2)=0$，则 ( )
A. $f(x)$的图象关于点$(2,0)$对称
B. $f(x)$是周期为4的周期函数
C. $g(5)=-6$
D. $\sum_{i = 1}^{2024}f(i)=0$

答案： 10.ABD　

11. 已知$f(x)=\frac{1}{x\ln x}+4$，则下列说法正确的是 ( )
A. 函数$f(x)$在$(\frac{1}{\mathrm{e}},1)\cup(1,+\infty)$上单调递减
B. 函数$f(x)$有两个零点
C. 若方程$f(x)=m$有且仅有一个解，则$m$的取值范围为$m = 4-\mathrm{e}$或$m\geqslant4$
D. 函数$f(x)$有极大值，无极小值

答案： 11.BD

12. 曲线$f(x)=x^{3}-\frac{1}{x}$的切线斜率的最小值为________.

答案： 12.$2\sqrt{3}$

13. 已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$及其导函数$f'(x)$满足$f'(x)＞-f(x)$，若$f(\ln3)=\frac{1}{3}$，则满足不等式$f(x)＞\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}$的$x$的取值范围是________.

答案： 13.(ln3,+∞)　

14. 若关于$x$的不等式$\ln x - ax＞0$有且仅有一个整数解，则实数$a$的取值范围是________.

答案： 14.($\frac{ln2}{2}$,$\frac{ln3}{3}$)

四、解答题(本题共1小题，共17分)
15. 已知函数$f(x)=|3x - 1|-3b - 3\ln x$.
（1）当$b = 1$时，求$f(x)$在$(\frac{1}{3},+\infty)$上的单调区间及极值；
（2）若$f(x)\geqslant0$恒成立，求$b$的取值范围.

答案： 15.解;
(1)当b=1,x＞$\frac{1}{3}$时,f(x)=3x−1−3−3lnx=3x−3lnx−4,　　　
f'(x)=3−$\frac{3}{x}$=$\frac{3(x−1)}{x}$,　　　
令f'(x)＞0,解得x＞1,　　　
令f'(x)＜0,解得$\frac{1}{3}$＜x＜1,　　　
所以f(x)的单调递减区间为($\frac{1}{3}$,1),单调递增区间为(1,+∞),　　　
所以f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f
(1)=−1,无极大值.　　　
(2)f(x)=|3x−1|−3b−3lnx≥0恒成立,即3b≤|3x−1|−3lnx恒成立　　　
令g(x)=|3x−1|−31nx,　　　
则当x∈(0，'$\frac{1}{3}$]时,g(x)=1−3x−3lnx,g(x)单调递减,　　　　
当x∈($\frac{1}{3}$,+∞)时,g(x)=3x−1−3lnx,g'(x)=3−$\frac{3}{x}$=$\frac{3x−3}{x}$,　　　
令g'(x)＞0,解得x＞1;令g'(x)＜0,解得$\frac{1}{3}$＜x＜1,
综上所述,g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
因此g(x)min=g
(1)=2,　　　
所以3b≤2,
即b≤$\frac{2}{3}$,　　　
故b的取值范图为(−0∞,$\frac{2}{3}$