《2025年全品基础小练习高考数学》

3.（17分）在长方形ABCD中，AB = 2AD = 2√2，点E为CD的中点（如图①），将点D绕AE旋转至点P处，使平面PAE⊥平面ABCE（如图②）.
(1)求证：PA⊥PB；
(2)若点F在线段PB上，当二面角F - AE - P的大小为π/4时，求四棱锥F - ABCE的体积.

答案：
$3. 解： (1)证明：在长方形 ABCD中，AB = 2AD = 2\sqrt{2}，E为 CD的中点，$
$\therefore AE = BE = 2，$
$\therefore AE\perp BE，$
$\because平面 PAE\perp平面 ABCE，平面 PAE\cap平面 ABCE = AE，BE\subset平面 ABCE，$
$\therefore BE\perp平面 PAE，$
$又 AP\subset平面 PAE，$
$\therefore BE\perp PA，$
$又 PA\perp PE，BE\subset平面 PBE，PE\subset平面 PBE，PE\cap BE = E，$
$\therefore PA\perp平面 PBE，$
$又 PB\subset平面 PBE，$
$\therefore PA\perp PB。 $
$(2)取 AE的中点 O，AB的中点 G，连接 OP，OG，$
$由题意可得 OP，OG，OA两两互相垂直，以 O为坐标原点，OA，OG，OP所在直线分别为 x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，$
$则 A(1,0,0)，E(-1,0,0)，B(-1,2,0)，P(0,0,1)，$
$则 \overrightarrow{PB}=(-1,2,-1)，\overrightarrow{AE}=(-2,0,0)，$
$设 \overrightarrow{PF}=\lambda\overrightarrow{PB}(0\leqslant\lambda\leqslant1)，$
$则 F(-\lambda,2\lambda,1 - \lambda)，$
$则 \overrightarrow{AF}=(-\lambda - 1,2\lambda,1 - \lambda)，$
$设平面 FAE的法向量为 \boldsymbol{m}=(x,y,z)，$
$则 \begin{cases}\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{AE}=0\\\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{AF}=0\end{cases}，$
$\therefore \begin{cases}{-2x = 0}\\{-\lambda - 1)x+2\lambda y+(1 - \lambda)z = 0}\end{cases}，$
$令 y=\lambda - 1，得 z = 2\lambda，$
$\therefore\boldsymbol{m}=(0,\lambda - 1,2\lambda)，$
$又 BE\perp平面 PAE，$
$\therefore\boldsymbol{n}=\overrightarrow{EB}=(0,2,0)是平面 PAE的一个法向量，$
$\therefore\cos\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle=\frac{\boldsymbol{m}\cdot\boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}||\boldsymbol{n}|}=\frac{2(\lambda - 1)}{2\times\sqrt{(\lambda - 1)^{2}+4\lambda^{2}}}，$
$令 \frac{2(\lambda - 1)}{2\times\sqrt{(\lambda - 1)^{2}+4\lambda^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}，$
$可得 \lambda=\frac{1}{3}，$
$\therefore当 F为 PB上靠近 P的三等分点时，二面角 F - AE - P的大小为 \frac{\pi}{4}。$
$ \because PO\perp平面 ABCE，且 PO = 1，$
$\therefore点 F到平面 ABCE的距离为 \frac{2}{3}，$
$又四边形 ABCE的面积为 3，$
$\therefore四棱锥 F - ABCE的体积 V=\frac{1}{3}S_{四边形ABCE}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\times3\times\frac{2}{3}=\frac{2}{3}。$

4.（17分）如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠DAB = 90°，AD = DC = 1/2AB，以直线AB为轴将直角梯形ABCD旋转得到直角梯形ABEF，且AF⊥AD.
(1)求证：DF//平面BCE.
(2)在线段DF上是否存在点P，使得直线AF与平面BCP所成角的正弦值为2√2/3？若存在，求出DP/DF的值；若不存在，说明理由.

答案：
$4. 解： - (1)证明：将直角梯形 ABCD绕直线 AB旋转得到直角梯形 ABEF，则 CD = EF且 CD\parallel EF，故四边形 CDFE为平行四边形，所以 DF\parallel CE，又 CE\subset平面 BCE，DF\not\subset平面 BCE，所以 DF\parallel平面 BCE。 - (2)因为 AF\perp AD，\angle DAB = 90^{\circ}，\angle BAF = 90^{\circ}，所以 AD，AB，AF两两垂直，故以 A为坐标原点，AD，AB，AF所在直线分别为 x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由 AD = DC=\frac{1}{2}AB，设 AD = 1，则 A(0,0,0)，D(1,0,0)，F(0,0,1)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，设 \frac{DP}{DF}=m(0\leqslant m\leqslant1)，则 \overrightarrow{DP}=m\overrightarrow{DF}，设 P(a,0,b)，则 (a - 1,0,b)=m(-1,0,1)，解得 a = 1 - m，b = m，故 P(1 - m,0,m)。当 m = 0时，P与 D重合，直线 AF与平面 BCD垂直，不满足所成角的正弦值为 \frac{2\sqrt{2}}{3}，舍去；当 m\neq0时，设平面 BCP的法向量为 \boldsymbol{n}=(x,y,z)，\overrightarrow{BC}=(1,-1,0)，\overrightarrow{PC}=(m,1,-m)，则 \begin{cases}\overrightarrow{BC}\cdot\boldsymbol{n}=x - y = 0\\\overrightarrow{PC}\cdot\boldsymbol{n}=mx + y - mz = 0\end{cases}，令 x = 1，则 y = 1，z=\frac{m + 1}{m}，故 \boldsymbol{n}=(1,1,\frac{m + 1}{m})，设直线 AF与平面 BCP所成角为 \theta，则 \sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{AF},\boldsymbol{n}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{AF}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{AF}|\cdot|\boldsymbol{n}|}=\frac{|(0,0,1)\cdot(1,1,\frac{m + 1}{m})|}{\sqrt{1 + 1+(\frac{m + 1}{m})^{2}}}=\frac{\frac{m + 1}{m}}{\sqrt{1 + 1+(\frac{m + 1}{m})^{2}}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}，可得 m=\frac{1}{3}。综上，在线段 DF上存在点 P，使得直线 AF与平面 BCP所成角的正弦值为 \frac{2\sqrt{2}}{3}，此时 \frac{DP}{DF}=\frac{1}{3}。$