《2025年全品基础小练习高考数学》

1. 下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是 ( )
A. $y = 10×1.05^{x}$
B. $y = 20 + x^{2}$
C. $y = 30 + \lg(x + 1)$
D. $y = 50x$

答案： A

2. 有一组数据如下表所示，则下列函数模型中，最适合模拟这组数据变化规律的是 ( )
　　　　　

A. 一次函数
B. 二次函数
C. 指数函数
D. 正切函数

答案： A

3. 为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码的系统，其加密、解密原理如下:

现在加密密钥为$t = 2a^{x + 1}(a＞0且a\neq1)$，解密密钥为$y = 3t - 5$，已知当发送方发送明文“1”时，通过加密后得到密文“18”，再发送密文“18”，接受方通过解密密钥解密得明文“49”.若接受方接到明文“4”，则发送方发送的明文为 ( )
A. $-\log_{3}2$
B. $\log_{3}\frac{3}{2}+1$
C. 162
D. $\log_{3}\frac{7}{2}-1$

答案： A

4. 2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功.已知火箭的最大速度v(单位：km/s)与燃料质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系为$v = 2\ln(1+\frac{M}{m})$.已知火箭的质量为3100 kg，火箭的最大速度为11 km/s，则火箭需要加注的燃料质量为 ( )(参考数值：$\ln2\approx0.69,\ln244.69\approx5.50$，结果精确到0.01 t，1 t = 1000 kg)
A. 890.23 t
B. 755.44 t
C. 244.69 t
D. 243.69 t

答案： B

5. 某汽车客运站购买了一批客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：万元)与营运年数$x(x\in N^{*})$满足二次函数关系，该函数的部分图象如图所示，则当每辆客车营运的年平均利润$\frac{y}{x}$最大时，其营运年数为 ( )
　　　　　　

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： C

6. 在一般情况下，过江大桥上的车流速度v(单位：千米/时)与车流密度x(单位：辆/千米)有关.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为90千米/时.研究表明，当$20\leq x\leq200$时，车流速度v是车流密度x的一次函数.设当车流密度$x = x_{0}$时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)$f(x)=x\cdot v(x)$可以达到最大，则 ( )
A. $x_{0}=100$
B. $x_{0}=120$
C. $f(x_{0})=3000$
D. $f(x_{0})=6000$

答案： A