《2025年全品基础小练习高考数学》

5.（15分）已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$满足$S_{n}=2a_{n}-2^{n + 1}$.
（1）求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
（2）若不等式$2n^{2}-n - 3＜(5-\lambda)a_{n}$对任意$n\in\mathbf{N}^{*}$恒成立，求实数$\lambda$的取值范围.

答案： $5.解： (1)由S_{n}=2a_{n}-2^{n + 1}，$
$得当n = 1时，S_{1}=a_{1}=2a_{1}-2^{2}，$
$解得a_{1}=4。$
$当n\geq2时，S_{n - 1}=2a_{n - 1}-2^{n}，$
$则a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=2a_{n}-2a_{n - 1}-2^{n}(n\geq2)，$
$即a_{n}-2a_{n - 1}=2^{n}(n\geq2)，$
$即\frac{a_{n}}{2^{n}}-\frac{a_{n - 1}}{2^{n - 1}}=1(n\geq2)，$
$所以数列{\frac{a_{n}}{2^{n}}}是以\frac{a_{1}}{2^{1}} = 2为首项，以1为公差的等差数列，$
$所以\frac{a_{n}}{2^{n}}=n + 1$
$即a_{n}=(n + 1)\cdot2^{n}$
$(2)原不等式可化为(n + 1)(2n - 3)<(5-\lambda)(n + 1)\cdot2^{n}，$
$等价于5-\lambda>\frac{2n - 3}{2^{n}}。$
$记b_{n}=\frac{2n - 3}{2^{n}}，$
$则5-\lambda>b_{n}对任意n\in N^{*}恒成立，$
$所以5-\lambda>(b_{n})_{\max}。$
$b_{n + 1}-b_{n}=\frac{2n - 1}{2^{n + 1}}-\frac{2n - 3}{2^{n}}=\frac{5 - 2n}{2^{n + 1}}$
$当n = 1,2时，5 - 2n>0，b_{n + 1}>b_{n}$
$即b_{1}2，n\in N^{*}时，5 - 2n<0，b_{n + 1}b_{4}>b_{5}>\cdots。$
$所以数列b_{n}的最大项为b_{3}=\frac{3}{8}，$
$故5-\lambda>\frac{3}{8}，$
$解得λ<\frac{37}{8}，$
$故实数\lambda的取值范围是(-\infty,\frac{37}{8})。$