《2025年绩优学案八年级数学上册北师大版》

1. 某养殖厂有一个长2m、宽1.5m的长方形栅栏,现在要在对角的顶点间加固一块木板,则木板的长是( )

A.4m
B.3m
C.3.5m
D.2.5m

答案： D

2. 如图1-1-2-1,隔湖有两点A,B,为了测得A,B两点间的距离,从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C,若测得CA= 50m,CB= 40m,那么A,B两点间的距离是

答案： 30 m

3. 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形(如图1-1-2-2所示)。如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么$(a + b)^2$的值是

答案： 25

4. 已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12cm和10cm,则这个三角形的面积为

答案： 48

【例1】将两个全等的Rt△ABC与Rt△DAE如图1-1-2-3摆放,∠ACB= ∠DEA= 90°,BC= AE= a,AC= DE= b,AB= AD= c。四边形ECFD为长方形,容易得出$S_{四边形ABCD}= S_{△ABC}+S_{△ACD}= S_{△ABD}+S_{△BCD}$,请用含a,b,c的式子表示出上面四个三角形的面积,完成勾股定理的证明。

解题关键用两种不同的方法和含有a,b,c的式子表示同一个图形的面积,列出等式化简即可完成勾股定理的证明。

答案： 解：$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}$$=\frac{1}{2}BC\cdot AC+\frac{1}{2}AC\cdot DE$$=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}$，因为$\angle ACB=90^{\circ}$，所以$\angle BAC+\angle ABC =90^{\circ}$，因为$Rt\triangle ABC\congRt\triangle DAE$，所以$\angle ABC=\angle DAE$，所以$\angle BAC+\angle DAE=90^{\circ}$，即$\angle BAD=90^{\circ}$。$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}AB\cdot AD+\frac{1}{2}BC\cdot DF=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}a(b - a)=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^{2}$，所以$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}a^{2}$，所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。

【例2】如图1-1-2-4①是吊车的实物图,图1-1-2-4②是吊车工作示意图。吊车作业时通过液压杆CD的伸缩使起重臂AB绕点B转动,从而使得起重臂升降作业(起重臂AB的长度也可以伸缩)。在某次起重作业中,学习兴趣小组经过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图1-1-2-4②,起重臂AB= 10m,点B到地面的距离BE= 1.8m,钢丝绳所在直线AF垂直地面于点F,点B到AF的距离BG= 8m。求点A到地面的距离AF。

解题关键正确理解题意,将实际问题抽象成数学问题(数形结合),运用勾股定理解决问题。

答案： 解：在$Rt\triangle ABG$中，由勾股定理得，$AG^{2}=AB^{2}-BG^{2}=10^{2}-8^{2}=6^{2}$，所以$AG=6\ m$。因为$BE\perp EF$，$AF\perp EF$，$BG\perp AF$，所以$\angle BEF=\angle EFG=90^{\circ}$，所以四边形$BEFG$是长方形，所以$GF=BE=1.8\ m$，所以$AF=AG+GF=6+1.8=7.8(m)$。答：点$A$到地面的距离$AF$为$7.8\ m$。