《2025年绩优学案八年级数学上册北师大版》

1. 对于二次根式的乘法运算,一般地,有$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}= \sqrt{ab}$。该运算法则成立的条件是( )

A.$a ＞ 0$,$b ＞ 0$
B.$a ＜ 0$,$b ＜ 0$
C.$a\leq0$,$b\leq0$
D.$a\geq0$,$b\geq0$

答案： D

2. (2024湖南中考)计算$\sqrt{2}×\sqrt{7}$的结果是( )

A.$2\sqrt{7}$
B.$7\sqrt{2}$
C.$14$
D.$\sqrt{14}$

答案： D

3. 若$x$,$y$都是实数,且$y = \sqrt{x - 1}+\sqrt{1 - x}+4$,则$xy$的值是______。

答案： 4

4. (2024贵州中考)计算$\sqrt{2}×\sqrt{3}$的结果是______。

答案： $\sqrt{6}$

5. 计算：
(1)$6\sqrt{27}×(-2\sqrt{3})$；
(2)$\frac{2\sqrt{15}×\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$；
(3)$(2\sqrt{2}+\sqrt{3})(2\sqrt{2}-\sqrt{3})$；
(4)$2\sqrt{18}×\sqrt{\frac{1}{6}}÷\sqrt{3}$。

答案：
(1)原式$=-12\sqrt{27× 3}=-12× 9=-108$；
(2)原式$=2\sqrt{\dfrac{15× 5}{3}}=2\sqrt{25}=10$；
(3)原式$=(2\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3})^{2}=8-3=5$；
(4)原式$=2\sqrt{18× \dfrac{1}{6}÷ 3}=2\sqrt{1}=2$。

6. 计算$(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2024}(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2025}$的结果是( )

A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2}-\sqrt{3}$
C.$-\sqrt{2}+\sqrt{3}$
D.$-\sqrt{2}-\sqrt{3}$

答案： A

7. 计算：
(1)$\sqrt{2\frac{1}{4}}×\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{\frac{16}{3}}$；(2)$(5\sqrt{3}+2\sqrt{5})^{2}$；
(3)$(\sqrt{48}+\frac{\sqrt{12}}{4})÷\sqrt{27}$。

答案：
(1)原式$=\sqrt{\dfrac{9}{4}× \dfrac{1}{2}× \dfrac{16}{3}}=\sqrt{6}$；
(2)原式$=(5\sqrt{3})^{2}+2× 5\sqrt{3}× 2\sqrt{5}+(2\sqrt{5})^{2}=75+20\sqrt{15}+20=95+20\sqrt{15}$；
(3)原式$=\sqrt{48}÷ \sqrt{27}+\dfrac{\sqrt{12}}{4}÷ \sqrt{27}=\sqrt{48÷ 27}+\dfrac{1}{4}\sqrt{12÷ 27}=\sqrt{\dfrac{16}{9}}+\dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{9}{6}$。

8. 阅读材料：已知$x = \sqrt{2}+1$,求代数式$x^{2}-2x - 5$的值。
王红的做法是：根据$x = \sqrt{2}+1得(x - 1)^{2}= 2$,所以$x^{2}-2x + 1 = 2$,得$x^{2}-2x = 1$。把$x^{2}-2x$作为整体代入,得$x^{2}-2x - 5 = 1 - 5= -4$。即把已知条件适当变形,再整体代入解决问题。
请你用上述方法解决下面问题：
(1)已知$x = \sqrt{3}-2$,求代数式$x^{2}+4x - 5$的值；
(2)已知$x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$,求代数式$x^{3}+x^{2}+1$的值。

答案：
(1)因为$x=\sqrt{3}-2$，所以$x+2=\sqrt{3}$，所以$(x+2)^{2}=3$，所以$x^{2}+4x=-1$，所以$x^{2}+4x-5=-6$。
(2)因为$x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$，所以$2x+1=\sqrt{5}$，所以$(2x+1)^{2}=5$，所以$x^{2}+x=1$，所以$x^{3}+x^{2}+1=x(x^{2}+x)+1=x+1=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}+1=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$。