《2025年绩优学案八年级数学上册北师大版》

7. 如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形 $ ABC $ 的顶点 $ A $ 在 $ x $ 轴上,$ AB = AC $,$ \angle BAC = 90^{\circ} $,且 $ A(2,0),B(3,3) $,$ BC $ 交 $ y $ 轴于点 $ M(0,\frac{3}{2}) $。
(1)求点 $ C $ 的坐标；
(2)在 $ x $ 轴上有一动点 $ P $,当 $ PB + PM $ 的值最小时,求此时 $ P $ 的坐标。

答案：
7. 解：
(1)如图，作CD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，所以∠CAD +∠DCA=90°。因为∠BAC=90°，所以∠CAD +∠BAE = 90°，所以∠BAE=∠ACD。在△CDA 和△AEB 中，因为∠ACD =∠BAE，∠ADC =∠BEA，CA = AB，所以△CDA≌△AEB(AAS)，所以CD=AE，AD=BE。因为A(2,0)，B(3,3)，所以OA=2，OE=BE=3，所以CD=AE=1，OD=AD - OA=1，所以点C的坐标是(-1,1)。
(2)如图，作M关于x轴的对称点M'(0,-$\frac{3}{2}$)，连接BM'，交x轴于点P，此时PB+PM=PB+PM'=BM'的值最小。设直线BM'的解析式为y=mx+n，则$\begin{cases}3m+n=3, \\n=-\frac{3}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}m=\frac{3}{2}, \\n=-\frac{3}{2},\end{cases}$所以直线BM'的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$。点P在x轴上，当y=0时，x=1，所以点P的坐标为(1,0)。