《2025年绩优学案八年级数学上册北师大版》

1. 下列长度的四组线段中,可以构成直角三角形的是( )

A.4,5,6
B.1.5,2,2.5
C.2,3,4
D.1,2,3

答案： B

2. 如图 1 - 2 - 1,在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,BD = 9,AD = 12,AC = 20,则△ABC 是( )

A.等腰三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形

答案： C

3. 在△ABC 中,BC = 6,AC = 5,BC 边上的中线长为 4,则$ S_{△ABC}= $______。

答案： 12

4. 如果△ABC 的三边长 a,b,c 满足关系式|a + 2b - 60|$ + (b - 18)^2 + $|c - 30| = 0,那么△ABC______直角三角形。(填“是”或“不是”)

答案： 是

【例 1】如图 1 - 2 - 2,在正方形 ABCD 中,AB = 4,AE = 2,DF = 1,图中有几个直角三角形？你是如何判断的？与同伴进行交流。

解题关键 先利用勾股定理计算△BEF 的三边长的平方,再利用逆定理判定直角三角形。

答案： 解:根据勾股定理得$BE^{2}=20,EF^{2}=5$,$BF^{2}=25$,则$BE^{2}+EF^{2}=BF^{2}$,所以$\triangle BEF$是直角三角形,则图中有4个直角三角形。

【例 2】如图 1 - 2 - 3,在四边形 ABCD 中,已知 AB = 3,BC = 4,CD = 12,DA = 13,且∠ABC = 90°。求四边形 ABCD 的面积。

解题关键 连接 AC,作出辅助线,将四边形问题转化为三角形问题即可求解。

答案：
解:如图,连接AC。在$Rt\triangle ABC$中,$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=3^{2}+4^{2}=25$,所以$AC=5$。在$\triangle ACD$中,$AC^{2}+CD^{2}=5^{2}+12^{2}=169,DA^{2}=13^{2}=169$,所以$AC^{2}+CD^{2}=DA^{2}$,所以$\triangle ACD$是直角三角形。$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC+\frac{1}{2}AC\cdot CD=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×5×12=36$。