《2025年绩优学案八年级数学上册北师大版》

6. 如图,一只蚂蚁从 $ A $ 处出发沿台阶爬行到达 $ B $ 处,已知每级台阶的宽度和高度分别是 $ 30 \, cm $ 和 $ 20 \, cm $,台阶长度 $ AC = 165 \, cm $,则蚂蚁爬行的最短路程为______ $ cm $。

答案： 275

7. 如图,圆柱形玻璃杯高为 $ 14 \, cm $,底面周长为 $ 32 \, cm $,在杯内壁离杯底 $ 5 \, cm $ 的点 $ B $ 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 $ 3 \, cm $ 与蜂蜜相对的点 $ A $ 处,则蚂蚁从外壁 $ A $ 处爬到内壁 $ B $ 处的最短路程为______ $ cm $(杯壁厚度不计)。

答案：
20 解析:如图,沿过A的圆柱的高剪开,得到长方形EFGH,过点B作BQ⊥EF于点Q,作点A关于EH的对称点A',连接A'B交EH于点P,连接AP,则AP+PB就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离。 因为AE=A'E,AP=A'P,所以AP+PB=A'P+PB=A'B,因为BQ=$\frac{1}{2}$×32=16(cm),A'Q=14−5+3 =12(cm),在Rt△A'QB中,由勾股定理得A'B²=16² +12²=400,所以A'B=20(cm)。即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为20cm。

8. 两个正数的和为 $ 10 $,求它们积的最大值。
(1)你有哪些解决问题的方法？
(2)解决这个问题的过程中,你积累了哪些经验？
(3)你还能提出哪些类似的问题？

答案：

(1)解法1:面积法。设这两个正数分别为x,y,如图,用8个全等的直角边长分别为x,y的直角三角形拼出赵爽弦图。 由图可知AE=DH=BF=CG=x,DE=AF=BG=CH=y,x+y=10。8个直角三角形的面积之和为8×$\frac{1}{2}$xy=4xy,S正方形ABCD=10²=100,因为4xy+S正方形KLMN=S正方形ABCD,所以xy=25−$\frac{1}{4}$S正方形KLMN,当S正方形KLMN取最小值时,xy有最大值,当x−y=0即x=y=5时,S正方形KLMN取最小值0,此时xy的最大值为25。解法2:设这两个正数分别为5−x,5+x,则它们的积为(5+x)(5−x)=25−x²,当x=0时,积的最大值为25。
(2)解决这个问题的过程中，我积累了以下经验。经验一:几何应用，通过构造赵爽弦图，将两个数的和转化为大正方形的边长,利用面积关系求出积的最大值;经验二:通过合理设未知数，将问题转化为平方差公式的应用，利用平方的非负性求积的最大值。
(3)一个长方形的周长是16cm,求其面积的最大值。

9. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下,在临街的拐角建造了一片绿地(阴影部分)。如图,已知 $ AB = 9 \, m $,$ BC = 12 \, m $,$ CD = 17 \, m $,$ AD = 8 \, m $,技术人员通过测量确定了 $ \angle ABC = 90^{\circ} $。
(1)小区内部分居民每天必须从点 $ A $ 经过点 $ B $ 再到点 $ C $ 位置,为了方便居民出入,技术人员打算在绿地中开辟一条从点 $ A $ 直通点 $ C $ 的小路,请问如果方案落实,那么居民从点 $ A $ 到点 $ C $ 将少走多少路程？
(2)这片绿地的面积是多少？

答案：
(1)连接AC(图略)。因为∠ABC=90°,AB=9m,BC=12m,所以AC²=AB²+BC²=9²+12²=225。所以AC=15m。所以AB+BC−AC=9+12−15=6(m)。答:居民从点A到点C将少走6m的路程。
(2)因为CD=17m,AD=8m,AC=15m,所以AD²+AC²=DC²。所以△ADC是直角三角形，∠DAC=90°。所以S△DAC=$\frac{1}{2}$AD·AC=$\frac{1}{2}$×8×15=60(m²),S△ACB=$\frac{1}{2}$AB·BC=$\frac{1}{2}$×9×12=54(m²)。所以S四边形ABCD=60+54=114(m²)。答:这片绿地的面积是114m²。