《2025年绩优学案八年级数学上册北师大版》

1. 下列方程组中,是三元一次方程组的是( )

A.$\begin{cases}x + z = 2, \\ xy + z = 4, \\ z - x = 1\end{cases} $
B.$\begin{cases}x - \dfrac{3}{y} = 4, \\ x + z = 6, \\ y - 2z = -7\end{cases} $
C.$\begin{cases}x = 9, \\ xy = 3, \\ z - y = 5\end{cases} $
D.$\begin{cases}x + y = 8, \\ y + z = 10, \\ z - 2x = 23\end{cases} $

答案： D

2. 三元一次方程组$\begin{cases}x + y = 1, \\ y + z = 5, \\ z + x = 6\end{cases} $的解是( )

A.$\begin{cases}x = 1, \\ y = 0, \\ z = 5\end{cases} $
B.$\begin{cases}x = 1, \\ y = 2, \\ z = 4\end{cases} $
C.$\begin{cases}x = 1, \\ y = 0, \\ z = 4\end{cases} $
D.$\begin{cases}x = 4, \\ y = 1, \\ z = 0\end{cases} $

答案： A

3. 某商场出售甲,乙,丙三种型号的商品,若购买甲$2$件,乙$3$件,丙$2$件,共需$116$元；购买甲$1$件,乙$5$件,丙$1$件,共需$100$元。若购买甲,乙,丙各$1$件,则需______元。

答案： 52

【例 1】下列方程组中,是三元一次方程组的是( )

A.$\begin{cases}a = 1, \\ b = 2, \\ b - c = 3\end{cases} $
B.$\begin{cases}x + y = 2, \\ y + z = 1, \\ z + c = 3\end{cases} $
C.$\begin{cases}4x - 3y = 7, \\ 5x - 2y = 14, \\ 2x - y = 4\end{cases} $
D.$\begin{cases}xy + z = 3, \\ x + yz = 5, \\ xy + y = 7\end{cases} $
解题关键 根据三元一次方程组的定义逐项判断即可得。

答案： A

【例 2】解方程组$\begin{cases}a + b + c = 6, \\ 3a - b + c = 4, \\ 2a + 3b - c = 12\end{cases} $
解题关键 掌握消元法为解答本题的关键。

答案： 解：$\left\{\begin{array}{l} a+b+c=6,\enclose{circle}{1}\\ 3a-b+c=4,\enclose{circle}{2}\\ 2a+3b-c=12,\enclose{circle}{3}\end{array}\right.$
① - ②，得$2b - 2a = 2$，即$b - a = 1$，
① + ③，得$3a + 4b = 18$，
解$\left\{\begin{array}{l} b - a = 1\\ 3a + 4b = 18\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l} a = 2\\ b = 3\end{array}\right.$。
把$a = 2$，$b = 3$代入方程①，得$2 + 3 + c = 6$，解得$c = 1$。
则方程组的解是$\left\{\begin{array}{l} a = 2\\ b = 3\\ c = 1\end{array}\right.$。

【例 3】某校七年级有$3$个班,已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为$45$,二班、三班的平均人数与一班人数之和为$48$,一班、三班的平均人数与二班人数之和为$47$,则三个班的总人数是______。
解题关键 根据题意列出三元一次方程组,再根据整体思想求解。

答案： 70