《2025年绩优学案八年级数学上册北师大版》

6. 计算:
(1)(2025 陕西中考) $ \sqrt{3} × \sqrt{12} + | - 2| - (\pi - 3)^0 $;
(2)(2025 河南中考) $ \sqrt[3]{8} + (\pi - 1)^0 - \sqrt{3} × \sqrt{3} $;
(3)(2025 河北中考改编) $ (\sqrt{10} + \sqrt{6})(\sqrt{10} - \sqrt{6}) $。

答案： 解:
(1)原式$=6+2-1=7$;
(2)原式$=2+1-3=0$;
(3)原式$=10-6=4$。

7. 已知 $ \sqrt{19} - 2 $ 的整数部分是 $ a $,小数部分是 $ b $,求 $ \frac{3}{(b + 4)^2} + 2a $ 的值。

答案： 解:因为 $\sqrt{16}＜\sqrt{19}＜\sqrt{25}$,所以 $4＜\sqrt{19}＜5$,所以 $2＜\sqrt{19}-2＜3$,所以 $a=2,b=\sqrt{19}-4$。所以 $\frac{3}{(b+4)^{2}}+2a=\frac{3}{(\sqrt{19}-4+4)^{2}}+2×2=\frac{3}{19}+4=\frac{79}{19}$。

8. 对于任意的正实数 $ a $ 和 $ b $,我们定义新运算: $ a * b = \left\{ \begin{array} { l } { \sqrt { a } - \sqrt { b } ( a \geq b ), } \\ { \sqrt { a } + \sqrt { b } ( a ＜ b ) 。 } \end{array} \right. $ 例如: $ 27 * 12 = \sqrt { 27 } - \sqrt { 12 } = \sqrt { 3 } $。求 $ (5 * 2) × (18 * 45) $ 的值。

答案： 解:因为 $5＞2,18＜45$,所以 $5*2=\sqrt{5}-\sqrt{2}$，$18*45=\sqrt{18}+\sqrt{45}=3\sqrt{2}+3\sqrt{5}$，则 $(5*2)×(18*45)=(\sqrt{5}-\sqrt{2})(3\sqrt{2}+3\sqrt{5})=3(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})=3×3=9$。

9. 小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如 $ 3 + 2 \sqrt { 2 } = ( 1 + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } $。善于思考的小明进行了以下探索:
设 $ a + b \sqrt { 2 } = ( m + n \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } $(其中 $ a,b,m,n $ 均为正整数),则有 $ a + b \sqrt { 2 } = m ^ { 2 } + 2 n ^ { 2 } + 2 \sqrt { 2 } m n $。所以 $ a = m ^ { 2 } + 2 n ^ { 2 },b = 2 m n $。
这样小明就找到了一种把形如 $ a + b \sqrt { 2 } $ 的式子化为平方式的方法。请仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)当 $ a,b,m,n $ 均为正整数时,若 $ a + b \sqrt { 3 } = ( m + n \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } $,用含 $ m,n $ 的式子分别表示 $ a,b $,得 $ a = $______,$ b = $______。
(2)利用所探索的结论,找一组正整数 $ a,b,m,n $ 填空:______+______$ \sqrt { 3 } = ( $______+______$ \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } $。
(3)若 $ a + 4 \sqrt { 3 } = ( m + n \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } $,且 $ a,m,n $ 均为正整数,求 $ a $ 的值。

答案： 解:
(1)$m^{2}+3n^{2}$ $2mn$
(2)13 4 1 2(答案不唯一)
(3)根据题意,得 $a=m^{2}+3n^{2},4=2mn$。所以 $mn=2$。因为 $m,n$ 为正整数,所以 $m=2,n=1$ 或 $m=1,n=2$。当 $m=2,n=1$ 时,$a=m^{2}+3n^{2}=7$;当 $m=1,n=2$ 时,$a=m^{2}+3n^{2}=13$。所以 $a$ 的值为 7 或 13。