《2025年绩优学案八年级数学上册北师大版》

3. 如图 5-4-1-4,函数 $y = kx - 1$ 的图象过点 $(1,2)$,则关于 $x$ 的方程 $kx - 1 = 2$ 的解是____。

答案： $x=1$

4. 已知方程组 $\begin{cases}x - y - 3 = 0,\\2x - y + 2 = 0\end{cases} $ 的解是 $\begin{cases}x = -5,\\y = -8,\end{cases} $ 则直线 $y = x - 3$ 与 $y = 2x + 2$ 的交点坐标为____。

答案： $(-5,-8)$

5. 如图 5-4-1-5,直线 $y = -\frac{3}{4}x + 3$ 与 $y$ 轴、$x$ 轴交于点 $A,B$,点 $C$ 在直线 $AB$ 上,点 $C$ 的横坐标为 $m$。
(1)求点 $B$ 的坐标；
(2)当 $m = 1$ 时,求 $\triangle BOC$ 的面积；

答案： 解:
(1)因为$y=-\frac {3}{4}x+3$，
当$y=0$时，$x=4$，即$B(4,0)$。
(2)因为点C在直线AB上，点C的横坐标为m，
所以当$m=1$时，$y_{C}=-\frac {3}{4}+3=\frac {9}{4}$，
由
(1)知$B(4,0)$，
所以$S_{\triangle BOC}=\frac {1}{2}OB\cdot y_{C}=\frac {1}{2}×4×\frac {9}{4}=\frac {9}{2}$。

6. 小亮在用作函数图象的方法解二元一次方程组时,在同一坐标系中作出如图 5-4-1-6 的图象,他解的这个方程组可能是( )

A.$\begin{cases}y = -2x + 2,\\y = \frac{1}{2}x - 1\end{cases} $
B.$\begin{cases}y = -2x + 2,\\y = -x - 1\end{cases} $
C.$\begin{cases}y = 3x - 8,\\y = \frac{1}{2}x - 3\end{cases} $
D.$\begin{cases}y = -2x + 2,\\y = -\frac{1}{2}x - 1\end{cases} $

答案： D

7. 如图 5-4-1-7,直线 $y = -2x + 5$ 与 $x$ 轴交于点 $A$,与 $y$ 轴交于点 $B$。
(1)求 $A,B$ 两点的坐标；
(2)在 $x$ 轴上存在一点 $P$,使得 $\triangle ABP$ 的面积为 $10$,求点 $P$ 的坐标。

答案： 解:
(1)把$y=0$代入$y=-2x+5$，得$0=-2x +5$，
解得$x=\frac {5}{2}$，所以$A(\frac {5}{2},0)$，
把$x=0$代入$y=-2x+5$得$y=5$，所以$B(0,5)$。
(2)因为$\triangle ABP$的面积为10，
所以$\frac {1}{2}OB\cdot AP=10$，又因为$OB=5$，所以$AP=4$。
因为A点坐标为$(\frac {5}{2},0)$，
所以点P的坐标为$(-\frac {3}{2},0)$或$(\frac {13}{2},0)$。

8. 如图 5-4-1-8,在平面直角坐标系中,直线 $y = x + 6$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $B,C$,与直线 $OA$ 相交于点 $A(-4,2)$。
(1)求点 $B$ 的坐标。
(2)求 $\triangle OAC$ 的面积。
(3)在直线 $AC$ 上是否存在一点 $M$,使 $\triangle OMC$ 的面积是 $\triangle OAC$ 面积的 $\frac{1}{2}$？若存在,求出此时点 $M$ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案： 解:
(1)在$y=x+6$中，令$y=0$，得$0=x+6$，解得$x=-6$，所以点B的坐标为$(-6,0)$。
(2)在$y=x+6$中，令$x=0$，则$y=6$，
所以点$C(0,6)$，所以$S_{\triangle AOC}=\frac {1}{2}×6×4=12$。
(3)存在。设点M的坐标为$(a,a+6)$。
因为$S_{\triangle OMC}=\frac {1}{2}S_{\triangle OAC}$，
所以$\frac {1}{2}×6×|a|=\frac {1}{2}×12$，所以$a=\pm 2$。
当$a=2$时，点$M_{1}$的坐标是$(2,8)$；
当$a=-2$时，点$M_{2}$的坐标是$(-2,4)$。
综上所述，点M的坐标为$(2,8)$或$(-2,4)$。