《2025年绩优学案八年级数学上册北师大版》

1. 在对一组样本数据进行分析时,小华列出了方差的计算公式：$s^{2}= \frac{1}{4}[(1 - x)^{2}+(2 - x)^{2}+(4 - x)^{2}+(5 - x)^{2}]$,由公式提供的信息,则该样本的平均数是____,样本容量是____。

答案： 3 4

2. (2025 河南中考)为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势,数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取 20 株进行测量,测得两种小麦苗高的平均数相同,方差分别为$s_{甲}^{2}= 3.6$,$s_{乙}^{2}= 5.8$,则这两种小麦长势更整齐的是____(填“甲”或“乙”)。

答案： 甲

3. 已知一个样本数据为 2,3,4,5,6,则这组数据的方差和标准差分别是____。

答案： $2,\sqrt{2}$

4. 一组从小到大排列的数据：$a$,2,2,5,5 的极差是 4,则这组数据的方差为____。

答案： 2.8

【例 1】已知一组数据：6,3,4,7,6,3,5,6。
(1)求这组数据的平均数、众数；
(2)求这组数据的方差和标准差。
解题关键 (1)利用算术平均数的计算公式求平均数；(2)利用方差的公式可以计算方差,方差的算术平方根是标准差。

答案：
(1)按从小到大的顺序排列数据为:3,3,4,5,6,6,6,7,其中众数是6,平均数为$\overline{x}=\frac{3+3+4+5+6+6+6+7}{8}=5$。
(2)方差为$s^{2}=\frac{2×(3-5)^{2}+(4-5)^{2}+(5-5)^{2}+3×(6-5)^{2}+(7-5)^{2}}{8}=2$,标准差为$\sqrt{2}$。

【例 2】甲、乙、丙、丁四人各进行了 10 次射击测试,他们的平均成绩相同,方差分别是$s_{甲}^{2}= 0.46$,$s_{乙}^{2}= 1.15$,$s_{丙}^{2}= 1.78$,$s_{丁}^{2}= 0.92$。则射击成绩最稳定的是 ( )

A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
解题关键 比较四组成绩的方差,方差越大,数据越不稳定。

答案： A

1. 在方差计算公式$s^{2}= \frac{1}{20}[(x_{1}-15)^{2}+(x_{2}-15)^{2}+…+(x_{20}-15)^{2}]$中,可以看出 15 表示这组数据的 ( )

A.众数
B.平均数
C.标准差
D.方差

答案： B

2. 数据 0,1,2,3,4 的平均数是 2,则这组数据的方差是 ( )

A.2
B.$\sqrt{2}$
C.10
D.$\sqrt{10}$

答案： A