《2025年绩优学案八年级数学上册北师大版》

1. 若$\left\{\begin{array}{l}x = 1,\\ y = - 2\end{array} \right.是关于x和y的二元一次方程mx + ny = 3$的解,则$2m - 4n$的值等于( )

A.3
B.6
C.- 1
D.- 2

答案： B

2. 某数除以4余1,除以5余2,除以6余3,求满足条件的最小正整数。

答案： 解:① 观察余数规律:余数总比除数少 3,所以该数为 4,5,6 的公倍数减 3;② 因为 4,5,6 的最小公倍数为 60,则这个数为 60 - 3 = 57。

3. 三角形的周长为$21\mathrm{cm}$,三边均为整数,且最长边是最短边的3倍。求所有可能的边长组合。

答案： 解:① 设最短边 a,最长边 3a,另一边 b,满足:a + b + 3a = 21,则 b = 21 - 4a。根据三角形的三边关系可得:3a ＜ a + b,则 3a ＜ 21 - 3a 则 a ＜ 3.5。又因为 a 为正整数,所以,a 为 1,2,3。② 验证:a = 3 时,b = 9,3a = 9→3 + 9 ＞ 9,成立；a = 2 时,b = 13,3a = 6→2 + 6 ＜ 9,不成立；a = 1 时,b = 17,3a = 3→1 + 3 ＜ 17,不成立。故:三角形三边长为 3 cm,9 cm,9 cm。

【例 1】一个三位数,百位是十位的3倍,个位比十位大3,且这个数是15的倍数。求所有可能的三位数。
解题关键 找到百位数、个位数与十位数的关系,将这个数正确表示出来,同时根据条件逐步确定。

答案： 解:① 设十位为 x,则百位 3x,个位 x + 3(需满足 0 ＜ 3x ≤ 9 且 0 ≤ x + 3 ≤ 9)所以 x = 1,2,3。② 5 的倍数要求:末位 0 或 5。③ 验证:x = 1→314(末位非 0 或 5,舍去),x = 2→625(末位 5,成立),x = 3→936(末位 6,舍去)。

【例 2】真话假话谜题。
甲、乙、丙三人,其中一人偷了文具盒。
甲说：“乙没偷。”
乙说：“丙偷的。”
丙说：“甲在说谎。”
已知只有一人说真话,问谁是小偷？
解题关键 利用假设法进行逻辑推理,逐渐确定小偷。

答案： 解:① 假设甲真→乙没偷,则乙假→丙没偷,丙假→甲没说谎(矛盾);② 假设乙真→丙偷,则甲假→乙偷(矛盾);③ 假设丙真→甲说谎→乙偷,乙假→丙没偷→成立。答案:乙是小偷。