《2025年绩优学案八年级数学上册北师大版》

1. 下列 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式中,是一次函数的为( )

A.$ y = 2x^{2} + 4 $
B.$ y = \frac{1}{x} + 2 $
C.$ y = -2x + 1 $
D.$ y = kx + b $

答案： C

2. 有一个装有水的容器,其水面高度是 $ 10 $ cm。现向容器内注水,在注水过程中,水面高度以每秒 $ 0.2 $ cm 的速度匀速增加,则容器内的水面高度 $ h $(单位：cm)关于注水时间 $ t $(单位：s)的函数表达式是( )

A.$ h = 0.2t + 10 $
B.$ h = 0.2t $
C.$ h = 10t + 0.2 $
D.$ h = t + 10 $

答案： A

3. 若函数 $ y = x + 3 + b $ 是正比例函数,则 $ b = $ ______。

答案： -3

4. 某种优质蚊香一盘长 $ 105 $ cm,小文点燃后观察发现每小时蚊香缩短 $ 10 $ cm,则蚊香点燃后的长度 $ y $(单位：cm)与点燃时间 $ t $(单位：h)之间的关系式是 ______,该盘蚊香可使用 ______ h。

答案： y=105-10t 10.5

【例 1】已知函数 $ y = (m + 3)x^{m^{2} - 8} - n + 5 $。
(1)当 $ m $,$ n $ 取何值时,$ y $ 是 $ x $ 的一次函数？
(2)当 $ m $,$ n $ 取何值时,$ y $ 是 $ x $ 的正比例函数？
解题关键(1)一次函数中含自变量的项的次数为 $ 1 $,隐含条件为自变量的系数不等于 $ 0 $；(2)正比例函数的常数项为 $ 0 $,隐含条件为应该在一次函数的条件之下。

答案：
(1)根据一次函数的定义,得m²-8=1,解得m=3或m=-3。又因为m+3≠0,即m≠-3,所以当m=3,n为任意实数时,y是x的一次函数。
(2)根据正比例函数的定义得,-n+5=0,得n=5,由
(1)知当m=3,n=5时,y是x的正比例函数。

【例 2】写出下列各题中 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式,并判断 $ y $ 是否为 $ x $ 的一次函数,是否为正比例函数？
(1)长方形的面积为 $ 3 $,长方形的长 $ y $ 与宽 $ x $ 之间的关系式；
(2)刚上市时西瓜每千克 $ 3.6 $ 元,买西瓜的总价 $ y $(单位：元)与所买西瓜 $ x $(单位：kg)之间的关系式；
(3)仓库内有粉笔 $ 400 $ 盒,如果每个星期领出 $ 36 $ 盒,仓库内余下的粉笔盒数 $ y $ 与星期数 $ x $ 之间的关系式；
(4)小林的爸爸为小林存了一份教育储蓄,首次存入 $ 10000 $ 元,且每个月存入 $ 500 $ 元,存入总数 $ y $ 元与月数 $ x $ 之间的关系式。
解题关键构建函数关系式的基本依据就是寻找等量关系,再将文字语言转化成代数式即可。

答案：
(1)y=3/x,y不是x的一次函数。
(2)y=3.6x,y是x的一次函数,y也是x的正比例函数。
(3)y=400-36x,y是x的一次函数,不是x的正比例函数。
(4)y=10000+500x,y是x的一次函数,不是x的正比例函数。