《2025年绩优学案八年级数学上册北师大版》

1. 下列方程组不是三元一次方程组的是( )

A.$\begin{cases}x = 5, \\ x + y = 7, \\ x + y + z = 6\end{cases} $
B.$\begin{cases}x + y = 3, \\ y + z = 4, \\ z + x = 2\end{cases} $
C.$\begin{cases}4x - 9z = 17, \\ 3x + y + 15z = 18, \\ x + 2y + 3z = 2\end{cases} $
D.$\begin{cases}x + y - z = 5, \\ xyz = 1, \\ x - 3y = 2\end{cases} $

答案： D

2. 解三元一次方程组$\begin{cases}3x - y + z = 4, ② \\ 2x - y - z = 12, ② \\ x + y + 2z = 6, ③\end{cases} 若先消去z$,组成关于$x$,$y$的方程组,则应对方程组进行的变形是( )

A.① - ②,② + ③
B.① × 2 + ③,② × 2 + ③
C.① + ②,② × 2 + ③
D.① + ③,② + ③

答案： C

3. 若$(2x - 4)^2 + (x + y)^2 + |4z - y| = 0$,则$x + y + z = $______。

答案： $-\frac{1}{2}$

4. 解下列方程组
(1) $\begin{cases}x - 4y + z = -3, ② \\ 2x + y - z = 18, ② \\ x - y - z = 7; ③\end{cases} $
(2) $\begin{cases}x + 3y + 2z = 2, ① \\ 3x + 2y - 4z = 3, ② \\ 2x - y = 7。③\end{cases} $

答案：
(1)① + ②，得$3x - 3y = 15$，即$x - y = 5$④，
② - ③，得$x + 2y = 11$，⑤
⑤ - ④，得$3y = 6$，所以$y = 2$，把$y = 2$代入④，得$x = 7$。再把$x = 7$，$y = 2$代入③，得$z = -2$。
所以方程组的解为$\left\{\begin{array}{l} x = 7\\ y = 2\\ z = -2\end{array}\right.$。
(2)①×2 + ②，得$5x + 8y = 7$，④
解③，④组成的方程组$\left\{\begin{array}{l} 2x - y = 7\\ 5x + 8y = 7\end{array}\right.$，解这个方程组，得$\left\{\begin{array}{l} x = 3\\ y = -1\end{array}\right.$。
把$x = 3$，$y = -1$代入①，得$z = 1$，
所以原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l} x = 3\\ y = -1\\ z = 1\end{array}\right.$。

5. 已知关于$x$,$y的方程组\begin{cases}2x + y = 6 - 2k, \\ x + 2y = 2k - 3\end{cases} 的解满足2x - y = 2k$,则$k$的值为______。

答案： $\frac{7}{4}$

6. 将$9$个数填入幻方的空格中,要求每一横行,每一竖列以及两条对角线上的$3$个数之和相等,例如图$5 - 5 - 1$①就是一个幻方,图②是一个未完成的幻方,则$x与y$的和是多少？

答案：
解：设如图表所示：

根据题意可得$x + 6 + 20 = 22 + z + y$，
整理得$y + z - x = 4$，
又根据题意可得$x + 22 + n = 20 + z + n$，$20 + y + m = x + z + m$，
整理得$z - x = 2$，$x + z - y = 20$，
联立方程组得$\left\{\begin{array}{l} y + z - x = 4\\ z - x = 2\\ x + z - y = 20\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l} x = 10\\ y = 2\\ z = 12\end{array}\right.$。
所以$x + y = 12$。

7. 【阅读理解】在求代数式的值时,可以用整体求值的方法,化难为易。
例：已知$\begin{cases}3x + 2y + z = 4, ① \\ 7x + 5y + 3z = 10, ②\end{cases} 求x + y + z$的值。
解：由① × 2,得$6x + 4y + 2z = 8$,③
由② - ③,得$x + y + z = 2$,
所以$x + y + z的值为2$。
【类比迁移】已知$\begin{cases}x + 2y + 3z = 10, \\ 5x + 60y + 7z = 26,\end{cases} 求3x + 4y + 5z$的值。
【实际应用】某班级组织活动购买小奖品,买$10$支铅笔、$4$块橡皮、$2本日记本共需28$元,买$19$支铅笔、$7$块橡皮、$3本日记本共需48$元,则购买$3$支铅笔、$3$块橡皮、$3$本日记本共需多少元？

答案： 解：[类比迁移]$\left\{\begin{array}{l} x + 2y + 3z = 10,\enclose{circle}{1}\\ 5x + 6y + 7z = 26,\enclose{circle}{2}\end{array}\right.$
由① + ②，得$6x + 8y + 10z = 36$，所以$3x + 4y + 5z = 18$。
[实际应用]设铅笔、橡皮和日记本的单价分别为$m$元、$n$元、$p$元，
根据题意，得$\left\{\begin{array}{l} 10m + 4n + 2p = 28,\enclose{circle}{1}\\ 19m + 7n + 3p = 48,\enclose{circle}{2}\end{array}\right.$
由$2×$① - ②，得$m + n + p = 8$，
所以$3m + 3n + 3p = 24$，所以购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需24元。