《2025年绩优学案八年级数学上册北师大版》

1. 下列二次根式中,不能与$\sqrt{3}$合并的是( )

A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{18}$
C.$\sqrt{27}$
D.$\sqrt{48}$

答案： B

2. 已知$m = \sqrt{27} - \sqrt{3}$,则实数$m$的范围是( )

A.$2 ＜ m ＜ 3$
B.$3 ＜ m ＜ 4$
C.$4 ＜ m ＜ 5$
D.$5 ＜ m ＜ 6$

答案： B

3. 从$-\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$,$\sqrt{6}$中任意选择两个数,分别填在算式$(□ + ◯)^{2} ÷ \sqrt{2}$里面的“$□$”与“$◯$”中,计算该算式的结果是______。(只需写出一种结果)

答案： $4\sqrt{2}-2\sqrt{6}$(答案不唯一)

4. 如图,点$A$,$B$,$C$在数轴上,点$A表示的数是-1$,$B是AC$的中点,线段$AB = \sqrt{2}$,则点$C$表示的数是______。

答案： $2\sqrt{2}-1$

5. 计算：
(1)$2\sqrt{12} - \sqrt{3} + 3\sqrt{\dfrac{1}{3}}$；(2)$\dfrac{\sqrt{48} + 2\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$。

答案：
(1)原式$=2×2\sqrt{3}-\sqrt{3}+3×\frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{3}=4\sqrt{3}$;
(2)原式$=\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{6}}+\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{6}}=2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{30}}{3}$。

6. 符号“$*$”表示一种新的运算,规定$a * b = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$,则$3 * 5$的值为______。

答案： $\frac{6\sqrt{15}}{5}$

7. 若二次根式$\sqrt[3 - b]{3a - 4}与二次根式\sqrt{5}$的值相等,则$\sqrt{\dfrac{b}{a}} = $______。

答案： $\frac{\sqrt{3}}{3}$

8. 物体在做自由落体运动时,下落到地面的时间$t$(单位：$s$)和下落高度$h$(单位：$m$)之间满足关系式$t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$,其中$g取10 m/s^{2}$。(不考虑空气阻力)
(1)小球从$60 m$高空自由落下,需要多长时间到达地面？
(2)亮亮认为,小球从$120 m$的高空自由落下,到达地面所需要的时间是从$60 m高空自由落下所需时间的2$倍,你是否认同亮亮的想法？请说明理由。

答案：
(1)物体在做自由落体运动时,下落时间$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$,代入$h=60\ m$,解得$t=2\sqrt{3}\ s$;
(2)不认同。理由如下:小球从 120 m 的高空自由落下,下落时间$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$,代入$h=120\ m$,解得$t=2\sqrt{6}\ s$,故小球从 120 m 的高空自由落下,到达地面需要的时间是从60 m 高空自由落下时间的$\sqrt{2}$倍,故亮亮的想法错误。

9. 斐波那契数列中的第$n个数可以用\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{n} - \left(\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]$(表示$n \geq 1$),这是用无理数表示有理数的一个范例。
任务：请根据以上材料,通过计算求出斐波那契数列中的第$1个数和第2$个数。

答案： 解:当$n=1$时,$\frac{1}{\sqrt{5}}×\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]=\frac{1}{\sqrt{5}}×\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{5}}×\sqrt{5}=1$。当$n=2$时,$\frac{1}{\sqrt{5}}×\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]=\frac{1}{\sqrt{5}}×\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2}\right]=\frac{1}{\sqrt{5}}×\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)×\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{5}}×1×\sqrt{5}=1$。