《2025年绩优学案八年级数学上册北师大版》

8. 如图1-1-1-10,长方形$ABCD$中,$AB = 3\mathrm{c}\mathrm{m}$,$AD = 9\mathrm{c}\mathrm{m}$,将此长方形折叠,使点$D与点B$重合,折痕为$EF$。求$\triangle ABE$的面积。

答案： 解:因为四边形ABCD是长方形，所以∠A=90°。设BE=xcm,由折叠的性质可得DE=BE=xcm,所以AE=AD−DE=(9−x)cm。在Rt△ABE中,BE²=AE²+AB²,所以x²=(9−x)²+3²,解得x=5,所以DE=BE=5cm,AE=9−x=4(cm),所以S△ABE=$\frac{1}{2}$×3×4=6(cm²)。

9. 如图1-1-1-11,图甲是一个直角三角形$ABC$,它的两条直角边长分别为$a$,$b$,斜边长为$c$。分别取四个全等的直角三角形$ABC$拼成图乙、图丙,放入边长为$a + b$的正方形之中。

(1)图乙和图丙中的①②③______正方形(填“是”或“不是”)；
(2)图中①②的面积之和与③的面积有什么关系？为什么？
(3)由此你能得到直角三角形三边长的什么关系？

答案：
(1)是
(2)图中①②的面积之和等于③的面积，即a²+b²=c²。理由:①的面积为a²,②的面积为b²,③的面积为c²。因为图乙、图丙都是以a+b为边长的正方形，它们面积相等，①②的面积之和与③的面积都等于(a+b)²减去4个Rt△ABC的面积。
(3)任意直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方，即勾股定理a²+b²=c²。

10. 我国古代数学名著《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步与人齐,五尺人高曾记。仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉。良工高士素好奇,算出索长有几？”意思如下：“如图1-1-1-12,有一架秋千$OA$,当它静止时,踏板离地面$CD的距离为1$尺,将它往前推送两步(即$AE$的长,$AE = 10$尺)时,秋千的踏板$B$就和人一样高,已知这个人的身高为$5$尺,若秋千的绳索始终拉得很直,绳索有多长？”根据题意,可得秋千的绳索长为______尺(“尺”是我国传统的长度单位)。

答案： 14.5