《2025年绩优学案八年级数学上册北师大版》

1. 二元一次方程$2x + 3y = 12$的非负整数解有( )

A.4组
B.1组
C.2组
D.3组

答案： D

2. 已知$a$,$b$为非负整数,满足：①$2a + b = 7$,②$a - b ＜ 2$,则$a$为______,$b$为______。

答案： 0 或 1 或 27 或 5 或 3

3. 三角形的两边长分别为$5\mathrm{cm}和7\mathrm{cm}$,第三边为整数,且周长为偶数。第三边的长度为______。

答案： 4 cm、6 cm、8 cm 或 10 cm

4. 五个数的平均数是8,加入一个数后平均数变为7.5。则加入的数为______。

答案： 5

5. 尺规作图,保留作图痕迹：如图,求作一点$M$,使$MC = MD$,且使$M到\angle AOB$两边的距离相等。

答案： 解:根据题意分别作线段 CD 的垂直平分线和∠AOB 的角平分线,取其交点,从而逐步确定点 M 的位置。

6. 甲、乙、丙三人年龄为12、13、15岁,已知：①甲比乙大；②丙不是最大的。求三人的年龄。

答案： 解:由②得丙≠15 岁,由①得甲＞乙,故甲=15 岁,乙=13 岁,丙=12 岁。

7. 一个数除以4余1,除以5余2,求这个数的最小值。

答案： 解:列除以 4 余 1 的数:1,5,9,13,17,21,25,29,33,37,……从中找除以 5 余 2 的数:17(17÷5 = 3……2)。这个数最小是 17。

8. 四位数$\overline{3a4b}$能被4和9整除,求这个数的最小值。

答案： 解:能被 4 整除:末两位 4b 是 4 的倍数,b = 0 或 4 或 8。能被 9 整除:3 + a + 4 + b = 7 + a + b 是 9 的倍数。当 b = 0 时,7 + a 是 9 的倍数,则 a = 2(最小),这个数的最小值为 3240。验证:3240÷4 = 810,3240÷9 = 360,符合条件。

9. 如图,$\triangle ABC$中,$\angle B = 60^{\circ}$,$\angle C = 90^{\circ}$,在射线$BA上找一点D$,使$\triangle ACD$为等腰三角形,则$\angle ADC$的度数是多少？

答案：
解:如图,有三种情形:① 当 AC = AD 时, 因为△ABC 中,∠B = 60°,∠ACB = 90°,所以∠CAB = 30°,因为 AC = AD,所以∠ADC = ∠DCA = $\frac{1}{2}$(180° - ∠CAB) = 75°。② 当 CD' = AD'时,因为∠CAB = 30°,所以∠D'CA = ∠CAB = 30°,所以∠AD'C = 180° - 30° - 30 = 120°。③ 当 AC = AD"时,则∠AD"C = ∠ACD",因为∠CAB = 30°,∠AD"C + ∠ACD" = ∠CAB,所以∠AD"C = 15°,故答案为 75°或 120°或 15°。