《2025年绩优学案八年级数学上册北师大版》

【例 2】学习了最短路径问题,小红灵机一动,拿出了牛奶盒,将小蚂蚁放在点 $ A $ 处,并在点 $ B $ 处放上了一点儿火腿肠粒,小蚂蚁灵敏的嗅觉启动,出发去寻找食物,你能帮小蚂蚁找到爬行的最短路程吗？

解题关键 认真审题,画出符合题意的图形,运用勾股定理来解决问题。

答案：
解:如图，把A点和B点所在面展开，根据两点之间线段最短，线段AB就是最短路线，有三种情况: 在直角三角形中，图1:AB²=10²+(6+8)²=296;图2:AB²=8²+(10+6)²=320;图3:AB²=6²+(10+8)²=360。因为360＞320＞296,所以图1的路线最短。

1. 如图,圆柱的底面直径为 $ d $,高为 $ h $,一只蚂蚁在点 $ C $ 处,沿圆柱的侧面爬到点 $ B $ 处,现将圆柱侧面沿 $ AC $“剪开”,在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线,正确的是( )

答案： C

2. 如图,将一根 $ 24 \, cm $ 的筷子置于底面直径为 $ 12 \, cm $,高为 $ 5 \, cm $ 的圆柱形水杯中。设筷子露在杯子外面的长度为 $ h \, cm $,则 $ h $ 不可能为( )


A.$ 11 $
B.$ 14 $
C.$ 19 $
D.$ 20 $

答案： D

3. 如图所示,长方形地面 $ ABCD $ 的长 $ AB = 20 \, m $,宽 $ AD = 10 \, m $。中间竖有一堵砖墙,高 $ MN = 2 \, m $。若一只蚂蚱从点 $ A $ 爬到点 $ C $,它必须翻过中间那堵墙,则它至少要爬_____ $ m $。

答案： 26

4. 如图,一长方体木块,已知其侧面 $ ABCD $ 为正方形,边长为 $ 5 \, cm $,$ BB' = 7 \, cm $,现从点 $ A $ 出发,沿正方体表面缠绕一根绳子到达点 $ C' $ 处,则绳长最短为______ $ cm $。

答案： 13

5. 葛藤是一种多年生藤本植物,其缠绕着附近的树干盘旋而上,如图,若把树干看作底面周长为 $ 4 \, m $ 的圆柱,现有一段葛藤自点 $ A $ 处盘旋树干 $ 3 $ 圈到达点 $ B $ 的位置,已知 $ AB = 9 \, m $,你知道葛藤盘旋而上的最短缠绕路径吗？这段葛藤至少长多少米？

答案：
解:树干的展开图如图所示，葛藤缠绕的最短路径为AC→DE→FB,即在展开图中,将长方形平均分成3个小长方形, 因为树干的高度为9m,底面周长为4m,所以小长方形的长和宽分别为4m和3m,根据勾股定理可得AC²=DE²=FB²=3²+4²=25,所以AC=DE=FB=5m,所以AC+DE+FB=5+5+5=15(m)。答:这段葛藤至少15m。