《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

4. (2025·威海)小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度$AB$.测量方案如图所示:先从自家的阳台点$C$处测得大楼顶部点$B$的仰角$∠1$的度数,大楼底部点$A$的俯角$∠2$的度数.然后在点$C$正下方点$D$处,测得大楼顶部点$B$的仰角$∠3$的度数.若$∠1 = 45^{\circ},∠2 = 52^{\circ},∠3 = 65^{\circ}$,$CD = 10\mathrm{m}$,求大楼的高度$AB$.(结果精确到$1\mathrm{m}$,参考数据:$\sin52^{\circ}\approx0.8,\cos52^{\circ}\approx0.6,\tan52^{\circ}\approx1.3,\sin65^{\circ}\approx0.9,\cos65^{\circ}\approx0.4,\tan65^{\circ}\approx2.1$)

答案：
4.解:如答图，过点C作CG⊥AB于点G,过点D作DH⊥AB于点H，则四边形CDHG是矩形，
∴GH=CD=10m,CG=DH.
∵∠1=45°,
∴CG=BG;
　设AH=xm,则AG=(x+10)m.
　在Rt△ACG中,
∵∠2=52°,
∴CG=$\frac{AG}{tan52°}$≈$\frac{10+x}{1.3}$m,
∴BG=CG=$\frac{10+x}{1.3}$m,
∴BH=BG+GH=($\frac{10+x}{1.3}$+10)m.
　在Rt△BDH中,∠3=65°,
∴tan65°=$\frac{BH}{DH}$,即$\frac{\frac{10+x}{1.3}+10}{\frac{10+x}{1.3}}$≈2.1,解得x≈1.8,
∴AH≈1.8m,BH≈19.1m,
∴AB=BH+AH≈21(m).
　答:大楼的高度AB约为21m.
　　　　　　　　

5. (2025·泸州)如图,在水平地面上有两座建筑物$AD,BC$,其中$BC = 18\mathrm{m}$.从点$A,B$之间的点$E$(点$A,E,B$在同一水平线上)测得点$D$,点$C$的仰角分别为$75^{\circ}$和$30^{\circ}$,从点$C$测得点$D$的仰角为$30^{\circ}$.
求:(1)$∠ CDE$的度数;
(2)建筑物$AD$的高度.(计算过程和结果中的数据不取近似值)

答案：
5.解:
(1)如答图，过点C作CF⊥AD,垂足为F;
　由题意，得CF//AB,
∴∠FCE=∠CEB=30°.
∵∠DCF=30°,
∴∠DCE=∠DCF+∠FCE=60°.
∵∠AED=75°,
∴∠DEC=180°−∠AED−∠CEB=75°,
∴∠CDE=180°−∠DEC−∠DCE=45°.
　　　　　　
(2)如答图，过点E作EG⊥CD,垂足为G.
由题意,得AF=BC=18m
在Rt△EBC中,BC=18m,∠CEB=30°,
∴CE=2BC=36m.
在Rt△CEG中,∠ECD=60°,
∴CG=CE·cos60°=36×$\frac{1}{2}$=18(m),EG=CE·sin60°=36×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=18$\sqrt{3}$(m).
在Rt△DEG中,∠EDG=45°,
∴DG=$\frac{EG}{tan45°}$=18$\sqrt{3}$m,
∴CD=CG+DG=(18+18$\sqrt{3}$)m.
在Rt△DFC中,∠DCF=30°,
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=(9+9$\sqrt{3}$)m,
∴AD=AF+DF=18+9+9$\sqrt{3}$=(27+9$\sqrt{3}$)m.
答:建筑物AD的高度为(27+9$\sqrt{3}$)m.