《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

7. (2024·南通期末)如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ B = 45^{\circ} $，$ \sin C = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $，过点 $ A $ 作 $ AD ⊥ BC $ 于点 $ D $，$ AB = 2\sqrt{6} $. 若 $ E $，$ F $ 分别为 $ AB $，$ BC $ 的中点，则 $ EF $ 的长为(A)

A.$ 2 $
B.$ \dfrac{\sqrt{3}}{3} $
C.$ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $
D.$ 4 $

答案： 7.A

8. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AD ⊥ BC $ 于点 $ D $，$ AE $ 为 $ BC $ 边上的中线，$ AB = 5 $，$ AD = 3 $，$ \tan C = 1 $.
求：（1）$ BC $ 的长；
（2）$ \sin ∠ DAE $ 的值.

答案： 8.解:
(1)在Rt△ABD中,BD=$\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}$=$\sqrt{5^{2}-3^{2}}$=4.在Rt△ADC中,tanC=$\frac{AD}{DC}$=1,
∴DC=AD=3,
∴BC=BD+CD=4+3=7.
(2)
∵AE为BC边上的中线,
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{7}{2}$,
∴DE=BD−BE=4−$\frac{7}{2}$=$\frac{1}{2}$.在Rt△ADE中,
AE=$\sqrt{3^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}$=$\frac{\sqrt{37}}{2}$,
∴sin∠DAE=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{37}}{2}}$=$\frac{\sqrt{37}}{37}$.

9. (2024·溧阳期末改编)(1)如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AC = 3 $，$ BC = 4 $，求 $ \tan \dfrac{1}{2} ∠ ABC $ 的值.
研究思路：构造包含 $ \dfrac{1}{2} ∠ ABC $ 的直角三角形，延长 $ CB $ 至点 $ D $，使得 $ DB = AB $，连接 $ AD $，所以得到 $ ∠ D = \dfrac{1}{2} ∠ ABC $，即转化为求 $ ∠ D $ 的正切值，那么 $ \tan \dfrac{1}{2} ∠ ABC = $$\frac{1}{3}$.
(2)在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ A $ 为锐角，$ \tan A = \dfrac{1}{3} $，$ ∠ B = 2 ∠ A $，$ AB = 2\sqrt{13} $. 求 $ S_{△ ABC} $ 的值.

答案：
9.
(1)$\frac{1}{3}$
(2)解:过点C作CD⊥AB于点D,在DA上截取DE=DB,连接CE,如答图所示，
　　　　　　
∴CD是线段BE的垂直平分线，
∴CE=CB,
∴∠B=∠CED.
∵∠CED=∠A+∠ECA,∠B=2∠A,
∴2∠A=∠A+∠ECA,
∴∠A=∠ECA,
∴AE=CE.在Rt△ACD中,tanA=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{1}{3}$,
∴设CD=a,AD=3a,
∴DE=AD−AE=3a−AE,
∴DE=DB=3a−AE,
∴AB=AE+DE+BD=AE+3a−AE+3a−AE=6a−AE;
∵AB=2$\sqrt{13}$,
∴2$\sqrt{13}$=6a−AE,
∴AE=CE=6a−2$\sqrt{13}$,
∴DE=3a−AE=3a−(6a−2$\sqrt{13}$)=2$\sqrt{13}$−3a.
　在Rt△CDE中,由勾股定理,得$CE^{2}=CD^{2}+DE^{2}$,
∴$(6a−2\sqrt{13})^{2}=a^{2}+(2\sqrt{13}-3a)^{2}$,
　整理,得$13a^{2}-6\sqrt{13}a=0$,
解得$a=\frac{6\sqrt{13}}{13}$或a=0(不合题意,舍去),
∴$CD=\frac{6\sqrt{13}}{13}$,
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}×2\sqrt{13}×\frac{6\sqrt{13}}{13}=6$.