《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

1. (2025·深圳)如图为人行天桥的示意图,若高 $ BC $ 长为 10 米,斜道 $ AC $ 长为 30 米,则 $ \sin A $ 的值为 (D)

A.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
B.3
C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： 1. D

2. (2025·绥化)如图,某水库堤坝横断面迎水坡 $ AB $ 的斜面坡度 $ i = 1:\sqrt{2} $ (斜面坡度是指坡面的铅直高度 $ BC $ 与水平宽度 $ AC $ 的比),堤坝高 $ BC = 15\ \mathrm{m} $,则迎水坡面 $ AB $ 的长度是$15\sqrt{3}$m.

答案： 2. $15\sqrt{3}$m

3. 如图,小红沿坡度为 $ 1:\sqrt{3} $ 的斜坡走了 100 米,则她实际上升了50米.

答案： 3. 50

4. (2025·长沙)如图,某景区内两条互相垂直的道路 $ a,b $ 交于点 $ M $,景点 $ A,B $ 在道路 $ a $ 上,景点 $ C $ 在道路 $ b $ 上. 为了进一步提升景区品质,景区管委会在道路 $ b $ 上又开发了风景优美的景点 $ D $. 经测得景点 $ C $ 位于景点 $ B $ 的北偏东 $ 60^{\circ} $ 方向上,位于景点 $ A $ 的北偏东 $ 30^{\circ} $ 方向上,景点 $ B $ 位于景点 $ D $ 的南偏西 $ 45^{\circ} $ 方向上. 已知 $ AB = 800\ \mathrm{m} $.
求:(1)$ ∠ ACB $ 的度数;
(2)景点 $ C $ 与景点 $ D $ 之间的距离. (结果保留根号)

答案：
4. 解:
(1) 如答图, 由题意, 得 $ ∠ CBE = 60^{\circ} $, $ ∠ CAF = 30^{\circ} $, $ ∠ BDM = 45^{\circ} $, $ BM ⊥ DM $, $ BE // AF // DM $,

$ \therefore ∠ BCM = ∠ CBE = 60^{\circ} $, $ ∠ ACM = ∠ CAF = 30^{\circ} $,
$ \therefore ∠ ACB = ∠ BCM - ∠ ACM = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ} $.
(2) $ \because ∠ CBE = 60^{\circ} $,
$ \therefore ∠ CBM = 90^{\circ} - ∠ CBE = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} $.
由
(1)可得 $ ∠ ACB = 30^{\circ} $, $ \therefore ∠ ABC = ∠ ACB = 30^{\circ} $.
又 $ \because AB = 800 $m, $ \therefore AB = AC = 800 $m.
在 $ \mathrm{Rt} △ ACM $ 中, $ \sin ∠ ACM = \frac{AM}{AC} $, $ \cos ∠ ACM = \frac{CM}{AC} $,
$ \therefore AM = AC · \sin ∠ ACM = 800 × \sin 30^{\circ} = 800 × \frac{1}{2} = 400 $(m),
$ CM = AC · \cos ∠ ACM = 800 × \cos 30^{\circ} = 800 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 400\sqrt{3} $(m),
$ \therefore BM = BA + AM = 800 + 400 = 1200 $(m).
$ \because ∠ BDM = 45^{\circ} $, $ BM ⊥ DM $,
$ \therefore DM = BM = 1200 $m,
$ \therefore DC = DM - CM = (1200 - 400\sqrt{3}) $m,
$ \therefore $ 景点 $ C $ 与景点 $ D $ 之间的距离为 $ (1200 - 400\sqrt{3}) $m.

5. (2024·姑苏区期中)如图,两根竹竿 $ AB $ 和 $ AD $ 斜靠在墙 $ CE $ 上,量得 $ ∠ ABC = α, ∠ ADC = β $,则竹竿 $ AB $ 与 $ AD $ 的长度之比为 (D)

A.$\frac{\tanα}{\tanβ}$
B.$\frac{\cosα}{\cosβ}$
C.$\frac{\sinα}{\sinβ}$
D.$\frac{\sinβ}{\sinα}$

答案： 5. D