《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

7. 如图，在△ABC 中，AB = 10，AC = 5，点 M 在边 AB 上，且 AM = 2，点 N 在 AC 边上. 当 AN = 1或4 时，△AMN 与△ABC 相似.

答案： 7. 1或4

8. 如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，BD，CE 相交于点 O.
(1)若$\frac{OE}{OB}=\frac{OD}{OC}$，求证：△OEB∽△ODC；
(2)若 AE·AB = AD·AC，求证：∠ADE = ∠ABC.

答案： 8. 证明:
(1)
∵$\frac{OE}{OB}$ = $\frac{OD}{OC}$,
∴$\frac{OE}{OD}$ = $\frac{OB}{OC}$.
　又
∵∠EOB = ∠DOC,
∴△OEB∽△ODC.
(2)
∵AE·AB = AD·AC,
∴$\frac{AE}{AC}$ = $\frac{AD}{AB}$.
　又
∵∠A = ∠A,
∴△ADE∽△ABC,
∴∠ADE = ∠ABC.

9. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 6 cm，BC = 8 cm，动点 P 以 2 cm/s 的速度从点 A 出发，沿 AC 向点 C 移动，同时动点 Q 以 1 cm/s 的速度从点 C 出发. 沿 CB 向点 B 移动，设 P，Q 两点移动 t s（0 ＜ t ＜ 5）后，△CQP 的面积为 S $cm^2$.
(1)在 P，Q 两点移动的过程中，△CQP 的面积能否等于 3.6 $cm^2$？若能，求出此时 t 的值；若不能，请说明理由.
(2)当运动时间为多少秒时，△CPQ 与△CAB 相似.

答案：
9. 解:
(1)在矩形ABCD中，
∵AB = 6cm, BC = 8cm,
∴AC = 10cm, AP = 2tcm, PC = (10 - 2t)cm, CQ = tcm.
　如答图①,过点P作PH⊥BC于点H,
　则∠PHC = 90°,
∵∠B = 90°,
∴PH//AB,
∴△CPH∽△CAB,
∴$\frac{PH}{AB}$ = $\frac{CP}{CA}$, 即$\frac{PH}{6}$ = $\frac{10 - 2t}{10}$,
∴PH = $\frac{3}{5}$(10 - 2t)cm,
　　　　　　　
　根据题意,得$\frac{1}{2}t · \frac{3}{5}(10 - 2t) = 3.6$,
　解得t1 = 2, t2 = 3.
　故△CQP的面积等于3.6cm²时,t的值为2或3.
(2)如答图②,当∠PQC = 90°时,PQ⊥BC.
∵AB⊥BC, ∠PCQ = ∠ACB,
∴△PQC∽△ABC,
∴$\frac{PC}{AC}$ = $\frac{CQ}{BC}$.
∵AB = 6cm, BC = 8cm, QC = tcm, PC = (10 - 2t)cm,
∴$\frac{10 - 2t}{10}$ = $\frac{t}{8}$,
　解得t = $\frac{40}{13}$;
　如答图③,当∠CPQ = 90°时,PQ⊥AC,
∵∠QCP = ∠ACB, ∠QPC = ∠B,
∴△CPQ∽△CBA,
∴$\frac{CP}{BC}$ = $\frac{CQ}{AC}$, 即$\frac{10 - 2t}{8}$ = $\frac{t}{10}$, 解得t = $\frac{25}{7}$.
　综上所述，当运动时间为$\frac{40}{13}$秒或$\frac{25}{7}$秒时，△CPQ与△CAB相似.

10. (2024·上海)如图，在矩形 ABCD 中，E 为边 CD 上一点，且 AE⊥BD.
(1)求证：AD² = DE·DC；
(2)F 为线段 AE 延长线上一点，且满足 EF = CF = $\frac{1}{2}$BD，求证：CE = AD.

答案：
10. 证明:
(1)在矩形ABCD中, ∠BAD = 90°, ∠ADE = 90°, AB = DC,
∴∠ABD + ∠ADB = 90°.
∵AE⊥BD,
∴∠DAE + ∠ADB = 90°,
∴∠ABD = ∠DAE;
∵∠BAD = ∠ADE = 90°,
∴△ADE∽△BAD,
∴$\frac{AD}{BA}$ = $\frac{DE}{AD}$,
∴AD² = DE·BA.
∵AB = DC,
∴AD² = DE·DC;
(2)如答图，连接AC,交BD于点O.
在矩形ABCD中, ∠ADE = 90°,
∴∠DAE + ∠AED = 90°.
∵AE⊥BD,
∴∠DAE + ∠ADB = 90°,
∴∠ADB = ∠AED.
∵∠FEC = ∠AED,
∴∠ADO = ∠FEC;
在矩形ABCD中, OA = OD = $\frac{1}{2}$BD,
∵EF = CF = $\frac{1}{2}$BD,
∴OA = OD = EF = CF,
∴∠ADO = ∠OAD, ∠FEC = ∠FCE.
∵∠ADO = ∠FEC,
∴∠ADO = ∠OAD = ∠FEC = ∠FCE.
在△ODA和△FEC中, $\begin{cases} ∠ ODA = ∠ FEC \\ ∠ OAD = ∠ FCE \\ OD = FE \end{cases}$
∴△ODA≌△FEC(AAS),
∴CE = AD.
　　　　　　
　　　　　　　　第10题答图