《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

3. 如图，在矩形ABCD中，AB = 6，BC = 8，E是BC边上的一个动点(不与点B，C重合)，连接AE，并作EF ⊥ AE，交CD边于点F。
(1)求证：△ABE ∽ △ECF；
(2)连接AF，设BE = x，CF = y。当x为何值时，y的值为2？

答案： 3.
(1) 证明：
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B = ∠C = 90°。
∵AE⊥EF，
∴∠AEF = 90°，
∴∠BAE + ∠AEB = 90°，∠FEC + ∠AEB = 90°，
∴∠BAE = ∠FEC。
∵∠B = ∠C，
∴△ABE∽△ECF。
(2) 解：
∵△ABE∽△ECF，
∴$\frac{AB}{EC} = \frac{BE}{CF}$。
∵AB = 6，BC = 8，BE = x，CF = y，
∴EC = 8 - x，
∴$\frac{6}{8 - x} = \frac{x}{y}$，
∴$y = -\frac{1}{6}x^2 + \frac{4}{3}x$。
∵y = 2，
∴$-\frac{1}{6}x^2 + \frac{4}{3}x = 2$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = 6$。
∵0 ＜ x ＜ 8，
∴x 的值为 2 或 6。
∴当 x 的值为 2 或 6 时，y 的值为 2。

4. 如图，△ABC为等边三角形，点D在边AC上，点E，点F分别在BC，AB的延长线上，∠DEF = 60°。
(1)求证：△DCE ∽ △EBF；
(2)若AB = 4，CE = 1，BF = m，求△DCE的面积。(用含m的代数式表示)

答案：
4.
(1) 证明：
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠ACB = ∠ABC = 60° = ∠DEF。
∴∠DCE = ∠EBF = 120°，
∠F + ∠BEF = ∠DEC + ∠BEF = 60°，
∴∠F = ∠DEC，
∴△DCE∽△EBF。
(2) 解：如答图，作 DH⊥BE 于点 H。
∵△ABC 为等边三角形，
∴CB = AB = 4。又 CE = 1，
∴BE = 5。
∵△DCE∽△EBF，
∴$\frac{CD}{BE} = \frac{CE}{BF}$，
∴$\frac{CD}{5} = \frac{1}{m}$，
∴$CD = \frac{5}{m}$。
在 Rt△DCH 中，∠CDH = 90° - 60° = 30°，
∴$CH = \frac{1}{2}CD$，由勾股定理，得$DH = \frac{5\sqrt{3}}{2m}$。
∴$S_{△DCE} = \frac{1}{2}CE · DH = \frac{5\sqrt{3}}{4m}$。

5. 在△ABC中，已知∠BAC = α，AD ⊥ BC于点D，BD = 2，DC = 3。
(1)如图①，当α = 30°时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，作出∠EBD = ∠FCD = 60°，利用三角形相似求出AD的长，请你帮助他证明：△ABE ∽ △CAF；
(2)如图②，当α = 45°时，求AD的长。

答案：
5.
(1) 证明：
∵AD⊥BC，∠EBD = ∠FCD = 60°，
∴∠BED = ∠DFC = 30°，
∴∠EAB + ∠ABE = ∠FAC + ∠ACF = 30°。
∵∠BAC = ∠BAE + ∠FAC = 30°，
∴∠ACF = ∠BAE，∠FAC = ∠ABE，
∴△ABE∽△CAF。
(2) 解：如答图，作∠EBD = ∠FCD = 45°，交 AD 于点 E，F，
∵AD⊥BC，
∴∠BED = ∠DFC = ∠EBD = ∠FCD = 45°，
∴DE = BD = 2，DC = DF = 3，
∴$BE = 2\sqrt{2}$，$CF = 3\sqrt{2}$。
∵∠BAC = ∠BAE + ∠FAC = 45°，∠BED = ∠EAB + ∠ABE = 45°，∠DFC = ∠FAC + ∠ACF = 45°，
∴∠ACF = ∠BAE，∠FAC = ∠ABE，
∴△ABE∽△CAF，
∴$\frac{CF}{AE} = \frac{AF}{BE}$，
∴$\frac{3\sqrt{2}}{AD - 2} = \frac{AD - 3}{2\sqrt{2}}$，
∴AD = 6 或 AD = -1(舍去)，
即 AD 的长为 6。