《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

8. 已知二次函数的图像如图所示，那么此函数的表达式可能是(C)


A.$y = -x^2 + x + 3$
B.$y = -x^2 - 3x - 3$
C.$y = -x^2 - x + 3$
D.$y = x^2 + x + 3$

答案： 8. C

9. 在平面直角坐标系中，抛物线$y = x^2 - 4x + 5$与$y$轴交于点$C$，则与该抛物线关于点$C$成中心对称的抛物线的函数表达式为(A)

A.$y = -x^2 - 4x + 5$
B.$y = x^2 + 4x + 5$
C.$y = -x^2 + 4x - 5$
D.$y = -x^2 - 4x - 5$

答案： 9. A

10. 已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$，当$x = 3$时，函数取得最大值$10$，且它的图像与$x$轴两交点间的距离为$4$，则该二次函数的表达式为$y = - \frac { 5 } { 2 } x ^ { 2 } + 15 x - \frac { 25 } { 2 } $.

答案： 10. $y = - \frac { 5 } { 2 } x ^ { 2 } + 15 x - \frac { 25 } { 2 } $

11. 已知二次函数的图像与$x$轴的两个交点$A$，$B$关于直线$x = -1$对称，且$AB = 6$，顶点在函数$y = 2x$的图像上，则这个二次函数的表达式为$y = \frac { 2 } { 9 } x ^ { 2 } + \frac { 4 } { 9 } x - \frac { 16 } { 9 } $.

答案： 11. $y = \frac { 2 } { 9 } x ^ { 2 } + \frac { 4 } { 9 } x - \frac { 16 } { 9 } $

12. (2025·河南)在二次函数$y = ax^2 + bx - 2$中，$x$与$y$的几组对应值如下表所示.

(1)求二次函数的表达式；
(2)求二次函数图像的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系（如图）中画出二次函数的图像；
(3)将二次函数的图像向右平移$n$个单位长度后，当$0≤ x≤ 3$时，若图像对应的函数最大值与最小值的差为$5$，请写出$n$的值.

答案：
12. 解：
(1) 由题意，结合表格数据，可得二次函数图像的对称轴是直线 $x = \frac { - 2 + 0 } { 2 } = - 1 $,
$ \therefore $可设二次函数的表达式为 $y = a ( x + 1 ) ^ { 2 } + k $.
又 $ \because $图像过点 $ ( 0, - 2 ) $, $ ( 1, 1 ) $,
$ \therefore \{ \begin{array} { l } { - 2 = a + k }, \\ { 1 = 4 a + k }, \end{array} $ 解得 $ \{ \begin{array} { l } { a = 1 }, \\ { k = - 3 }, \end{array} $
$ \therefore $二次函数的表达式为 $y = ( x + 1 ) ^ { 2 } - 3 $,
即 $y = x ^ { 2 } + 2 x - 2 $.
(2) 由题意，结合
(1) 中 $y = ( x + 1 ) ^ { 2 } - 3 $,
$ \therefore $顶点坐标为 $ ( - 1, - 3 ) $,
其图像如答图.

(3) 由二次函数 $y = ( x + 1 ) ^ { 2 } - 3 $ 的图像向右平移 $n $ 个单位长度后，得到新函数图像的表达式为 $y = ( x + 1 - n ) ^ { 2 } - 3 $,
$ \therefore $对称轴是直线 $x = n - 1 $, 图像开口向上.
① 当 $3 ≤ n - 1 $, 即 $n ≥ 4 $ 时，当 $x = 0 $ 时， $y $ 取最大值，为 $ ( 1 - n ) ^ { 2 } - 3 $;
当 $x = 3 $ 时， $y $ 取最小值，为 $ ( 4 - n ) ^ { 2 } - 3 $.
$ \because $最大值与最小值的差为 5,
$ \therefore ( 1 - n ) ^ { 2 } - 3 - ( 4 - n ) ^ { 2 } + 3 = 5 $, 解得 $n = \frac { 10 } { 3 } ＜ 4 $, 不合题意，舍去.
② 当 $0 ＜ n - 1 ＜ 3 $, 即 $1 ＜ n ＜ 4 $ 时，当 $x = 0 $ 或 $x = 3 $ 时， $y $ 取最大值，为 $ ( 1 - n ) ^ { 2 } - 3 $ 或 $ ( 4 - n ) ^ { 2 } - 3 $; 当 $x = n - 1 $ 时， $y $ 取最小值，为 $ - 3 $.
$ \because $最大值与最小值的差为 5,
$ \therefore ( 1 - n ) ^ { 2 } - 3 + 3 = 5 $ 或 $ ( 4 - n ) ^ { 2 } - 3 + 3 = 5 $,
解得 $n = 1 + \sqrt { 5 } $ 或 $n = 1 - \sqrt { 5 } $（不合题意，舍去）或 $n = 4 + \sqrt { 5 } $（不合题意，舍去）或 $n = 4 - \sqrt { 5 } $.
③ 当 $n - 1 ≤ 0 $, 即 $n ≤ 1 $ 时，
当 $x = 0 $ 时， $y $ 取最小值，为 $ ( 1 - n ) ^ { 2 } - 3 $;
当 $x = 3 $ 时， $y $ 取最大值，为 $ ( 4 - n ) ^ { 2 } - 3 $.
$ \because $最大值与最小值的差为 5,
$ \therefore ( 4 - n ) ^ { 2 } - 3 - ( 1 - n ) ^ { 2 } + 3 = 5 $,
解得 $n = \frac { 5 } { 3 } ＞ 1 $, 不合题意，舍去.
综上， $n = 1 + \sqrt { 5 } $ 或 $n = 4 - \sqrt { 5 } $.

13. 已知二次函数$y = -x^2 + bx + c$.
(1)当$b = 4$，$c = 3$时，
①求该函数图像的顶点坐标；
②当$-1≤ x≤ 3$时，求$y$的取值范围.
(2)当$x≤ 0$时，$y$的最大值为$2$；当$x ＞ 0$时，$y$的最大值为$3$.求二次函数的表达式.

答案： 13. 解：
(1) ① $ \because b = 4 $, $c = 3 $, $ \therefore y = - x ^ { 2 } + 4 x + 3 = - ( x - 2 ) ^ { 2 } + 7 $,
$ \therefore $顶点坐标为 $ ( 2, 7 ) $.
② $ \because - 1 ≤ x ≤ 3 $, $ \therefore $当 $x = 2 $ 时， $y $ 有最大值 7.
$ \because 2 - ( - 1 ) ＞ 3 - 2 $,
$ \therefore $当 $x = - 1 $ 时， $y $ 有最小值，此时 $y = - 1 - 4 + 3 = - 2 $,
$ \therefore $当 $ - 1 ≤ x ≤ 3 $ 时， $ - 2 ≤ y ≤ 7 $.
(2) $ \because x ≤ 0 $ 时， $y $ 的最大值为 2; $x ＞ 0 $ 时， $y $ 的最大值为 3,
$ \therefore $对称轴 $x = \frac { b } { 2 } $ 在 $y $ 轴的右侧， $ \therefore b ＞ 0 $.
$ \because x ≤ 0 $ 时， $y $ 的最大值为 2, $ \therefore c = 2 $.
又 $ \because \frac { 4 × ( - 1 ) × c - b ^ { 2 } } { 4 × ( - 1 ) } = 3 $, $ \therefore b = \pm 2 $.
$ \because b ＞ 0 $, $ \therefore b = 2 $,
$ \therefore $二次函数的表达式为 $y = - x ^ { 2 } + 2 x + 2 $.