《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

5. 如图是某隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分. 若隧道底部宽 $ 12 $ 米，高 $ 8 $ 米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系.
(1) 求抛物线的函数表达式；
(2) 该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于 $ 0.5 $ 米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔 $ 2 $ 米（中心线宽度不计）. 若宽 $ 3 $ 米，高 $ 3.5 $ 米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由.

答案：
5. 解:
(1)由题意，得顶点坐标为$(\frac{12}{2},8)$，即$(6,8)$。设抛物线的函数表达式为$y = a(x - 6)^{2}+8(a≠0)$，代入$(12,0)$，得$a(12 - 6)^{2}+8 = 0$，解得$a = -\frac{2}{9}$，故抛物线的函数表达式为$y = -\frac{2}{9}(x - 6)^{2}+8(0≤ x≤12)$。
(2)能安全通过，理由如下:
　如答图。
　　　　　　
　由题意，得$x_{A}=\frac{12}{2}-\frac{2}{2}-3 = 2$，将$x = 2$代入$y = -\frac{2}{9}(x - 6)^{2}+8$，则$y = -\frac{2}{9}×(2 - 6)^{2}+8 = \frac{40}{9}$。
　$\because\frac{40}{9}-3.5=\frac{17}{18}＞0.5$，$\therefore$能安全通过。

6. 某游乐园有一个直径为 $ 16 $ 米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线形，在距水池中心 $ 3 $ 米处达到最高，高度为 $ 5 $ 米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合. 如图，以水平方向的直线为 $ x $ 轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系.
(1) 求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式.
(2) 王师傅在喷水池内维修设备期间，为了防止喷水管意外喷水被淋湿，身高 $ 1.8 $ 米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
(3) 经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 $ 32 $ 米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.

答案： 6. 解:
(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为$y = a(x - 3)^{2}+5(a≠0)$，将$(8,0)$代入$y = a(x - 3)^{2}+5$，得$25a + 5 = 0$，解得$a = -\frac{1}{5}$，$\therefore$水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为$y = -\frac{1}{5}(x - 3)^{2}+5(0＜ x＜8)$。
(2)当$y = 1.8$时，$-\frac{1}{5}(x - 3)^{2}+5 = 1.8$，解得$x_{1} = -1$(舍去)，$x_{2} = 7$，$\therefore$王师傅站立时必须在离水池中心$7$米以内。
(3)当$x = 0$时，$y = -\frac{1}{5}(x - 3)^{2}+5 = \frac{16}{5}$。设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为$y = -\frac{1}{5}x^{2}+bx+\frac{16}{5}$，$\because$该函数图像过点$(16,0)$，$\therefore0 = -\frac{1}{5}×16^{2}+16b+\frac{16}{5}$，解得$b = 3$，$\therefore$改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为$y = -\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}=-\frac{1}{5}(x - \frac{15}{2})^{2}+\frac{289}{20}$，$\therefore$扩建改造后喷水池水柱的最大高度为$\frac{289}{20}$米。