《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版徐州专版》

11. 二次函数 $ y = -2x^{2} + 1 $ 的图像上有两点 $ A(x_{1}, y_{1}) $，$ B(x_{2}, y_{2}) $，且 $ x_{1} ≠ x_{2} $，$ y_{1} = y_{2} $，当 $ x = x_{1} + x_{2} $ 时，对应的函数值 $ y = $1.

答案： 11.1

12. 已知抛物线 $ y = ax^{2} + k $ 经过点 $ (1, -1) $，且顶点坐标是 $ (0, -2) $.
(1) 求 $ a $，$ k $ 的值；
(2) 此抛物线对应的函数有最大值还是最小值？其值是多少？
(3) 若点 $ (m - 1, y_{1}) $，$ (m, y_{2}) $，$ (m + 1, y_{3}) $ 都在该抛物线上，且 $ m ＜ -1 $，则 $ y_{1} $，$ y_{2} $，$ y_{3} $ 的大小关系如何？

答案： 12.解:
(1)
∵抛物线y=ax²+k经过点(1,-1),且顶点坐标是(0,-2),
∴{a+k=-1,k=-2,解得{a=1,k=-2.
(2)由
(1)可知y=x²-2,
∴此抛物线对应的函数有最小值,当x=0时,函数取得最小值-2.
(3)当m＜-1时,m-1,m,m+1均小于0,当x＜0时,y随x的增大而减小,
∵m+1＞m＞m-1,
∴y₃＜y₂＜y₁.

13. 如图，二次函数 $ y = -\frac{1}{k}x^{2} + k(k ＞ 0) $ 的图像与 $ x $ 轴相交于 $ A $，$ C $ 两点(点 $ A $ 在点 $ C $ 的左侧)，与 $ y $ 轴交于点 $ B $，$ D $ 为线段 $ OC $ 上一点(不与点 $ O $，$ C $ 重合)，以 $ OD $ 为边向上作正方形 $ ODEF $，连接 $ AE $，$ BE $，$ AB $，设点 $ D $ 的横坐标为 $ m $.
(1) 当 $ k = 3 $，$ m = 2 $ 时，$ S_{△ ABE} = $9/2，当 $ k = 4 $，$ m = 3 $ 时，$ S_{△ ABE} = $8；
(2) 根据 (1) 中的结果，猜想 $ S_{△ ABE} $ 的大小，并证明你的猜想；
(3) 当 $ S_{△ ABE} = 8 $ 时，在平面直角坐标系内有一点 $ P $，其横坐标为 $ n $，当四边形 $ AEBP $ 为平行四边形时，求出 $ m $ 与 $ n $ 满足的关系式.

答案：
13.
(1)9/2 8
(2)解:S△ABE=1/2k².
证明:令y=-1/kx²+k=0,则x²=k²,解得x₁=-k,x₂=k,
∴点A的坐标为(-k,0).令x=0,则y=k,
∴点B的坐标为(0,k).
∵点D的横坐标为m,
∴点E的坐标为(m,m),点D的坐标为(m,0),
∴S△ABE=1/2AO·OB+1/2(OB+DE)·OD-1/2AD·DE=1/2k·k+1/2(k+m)m-1/2(k+m)m=1/2k².
(3)解:设点P的坐标为(n,y).
∵S△ABE=1/2k²=8,
∴k=4.令四边形AEBP对角线的交点为M,如答图所示.
∵四边形AEBP为平行四边形,
∴点M平分AB,点M平分EP.
∵A(-4,0),B(0,4),E(m,m),P(n,y),
∴-4+0=m+n,即m+n=-4,
∴当四边形AEBP为平行四边形时,m与n满足的关系式为m+n=-4.